Модели временных рядов

Модели, построенные по данным, характеризующим функционирование системы или процесс за ряд последовательных равноотстоящих моментов времени, называются моделями временных рядов, в дальнейшем-временными рядами. Простейшей является модель аддитивного случайного процесса, имеющая вид:

Y_t = U_t + V_t + e_t , (1)

где U_t - трендовая компонента;

V_t – сезонная компонента;

e_t – случайная компонента.

t – уровни наблюдения, t=1, 2, 3,….

Для построения модели (1) необходимо получить оценки каждой компоненты. Для выделения составляющих компонент пользуются процедурами фильтрации, регрессионного и корреляционного анализов.

Относительно трендовой составляющей U_t предполагают, что она представляет некоторую гладкую функцию, описываемую полиномом небольшой степени. Для этого чаще всего используются следующие функции времени:

- линейная U_t = a+b t;

- парабола второго и, реже, более высокого порядков

U_t = a+b₁ t +b₂ t ² +b₃ t ³ +…+b_n t ⁿ;

- экспонента U_t = e ^a+bt и др.

Параметры тренда определяются методом наименьших квадратов, в качестве независимой переменной выступает время t=1, 2, 3, .. , а в качестве зависимой переменной – уровни временного ряда Y_t. Критерием отбора наилучшей формы тренда является значение коэффициента детерминации R².

Пример 1.

Имеются данные о выработке продукции за 18 месяцев работы производственного участка (табл. 1)

Таблица 1- Данные о выработке продукции по месяцам

Требуется:

1) Построить график динамики выработки продукции.

2) Отобрать наилучшую форму тренда.

3) Выделить сезонную компоненту.

4) Построить аддитивную модель.

Решение.

Решение проводим с использованием ППП MS EXCEL. С использованием Мастера диаграмм строим график динамики выработки продукции (рис.1).

Рисунок 1- График выработки продукции по месяцам

График (рис.1) характеризует убывающую тенденцию выработки продукции с периодическими колебаниями. Проведем подбор тренда путем наложения линий тренда. Одновременно установим режим отображения уравнения регрессии, описывающего тренд и коэффициента детерминации. В таблице 2 приведены характеристики подбираемых линий тренда.

Таблица 2 - Подбор линий тренда м.н.к.

Все три вида тренда адекватно описывают характер изменения выработки продукции во времени. Коэффициенты детерминации статистически значимы при уровне значимости 0,05, расчетные значения критерия Фишера превышают табличные данные. Для математического описания тренда выбираем более простое линейное уравнение.

Для выделения сезонной компоненты совместно со случайной составляющей (V_t +e_t), из исходного ряда Y_t вычитаем трендовую компоненту U_t. При этом получаем центрированный временной ряд:

(V_t +e_t) = Y_t - U_t (2)

График центрированного временного ряда отображен на рис.2.

Рисунок 2 - График компонент (V_t +e_t) в динамическом ряду выработки

продукции

Для определения периода циклической компоненты V_t вычисляем автокорреляционную функцию центрированного временного ряда (рис.3). На графике просматривается периодическая составляющая с периодом

(13-1)=12 месяцев и временным сдвигом (12-3)=9 месяцев. Амплитуда гармоники может быть приближенно оценена с помощью дисперсию центрированного временного ряда. Из условия аддитивности модели вытекает баланс дисперсий центрированного ряда:

S² (V_t +e_t) = S² (V_t) + S²(e_t) , (3)

где S² (V_t +e_t) – оценка дисперсии центрированного временного ряда;

S²(V_t) - оценка дисперсии сезонной (гармонической) компоненты, равная квадрату амплитуды гармоники;

S²(e_t) – оценка дисперсии случайной компоненты.

Рисунок 3 - Автокорреляционная функция центрированного временного ряда

Если пренебречь дисперсией случайной компоненты, то за амплитуду гармонической составляющей можно принять (оценка сверху) стандартное отклонение центрированного ряда. В рассматриваемом примере это будет:

A_Vt = S(V_t) = 53660.

Амплитуда гармоники может быть уточнена по критерию минимума случайной компоненты временного ряда. На графике (рис.4) приведены совмещенные компоненты (V_t+e_t) и гармоническая компонента V_t с уточненной амплитудой, равной 50000:

V_t = 50000Sin((2π/12)t + 2π(2,85/4)). (4)

Для выделения случайной компоненты e_t из центрированного временного ряда (V_t+e_t) вычитаем гармоническую компоненту V_t .

Рисунок 4- График центрированного ряда (V_t +e_t) с наложением гармонической компоненты V_t = 50000Sin((2π/12)t + 2π(2,85/4))

График случайной компоненты приведен на рис. 5.

Рисунок 5- График случайной компоненты временного ряда выработки

продукции

Случайная компонента e_t имеет следующие параметры:

- среднее значение равно -226,3 (шт/месяц), что статистически незначимо при уровне значимости 0,05;

- оценка дисперсии равна 13,7 1 (шт/месяц)².

После подстановки в исходное уравнение (1) всех компонент, временной ряд выработки продукции, уровни которых представлены в табл.1, описывается следующей аддитивной моделью:

Y_t = -12707t + 665390 + 50000Sin((2π/12)t + 2π(2,85/4)) + e_t . (5)

Адекватность модели (5) оцениваем по результатам анализа случайной компоненты e_t. Проверяем выполнение предпосылок м.н.к.

- Случайность остатков модели определяем по числу точек перегиба:

p = 11 > p_к =9, (6)

где p_к = [2(n-2)/3-2√(16n-29)/90].

- Для определения независимости значений уровней случайной компоненты можно воспользоваться первым коэффициентом автокорреляции:

. (7)

Для принятия решения о наличии или отсутствии автокорреляции в исследуемом ряду фактическое значение коэффициента автокорреляции r(1) сопоставляется с табличным (критическим) значением для 5%-го уровня значимости (вероятность допустить ошибку при принятии нулевой гипотезы о независимости уровней ряда). Если фактическое значение коэффициента автокорреляции меньше табличного, то гипотеза об отсутствии автокорреляции в ряду принимается. Если фактическое значение больше табличного – делают вывод о наличии автокорреляции в ряду динамики.

Для обнаружения гетероскедастич­ности обычно используют три теста, в которых делаются различные предположения о зависимости между дисперсией случайного члена и объясняющей переменной: тест ранговой корреляции Спирмена, тест Голдфельда-Квандта и тест Глейзера [Доугерти].

При малом объеме выборки для оценки гетероскедастич­ности может использоваться тест Голдфельда - Квандта.

Данный тест используется для проверки такого типа гетероскедастичности, когда дисперсия остатков воз­растает пропорционально квадрату фактора. При этом делается предположение, что, случайная составляющая e_t распределена нормально. Алгоритм применения теста Голдфельда – Квандта для оценки гетероскедастич­ности описан в лекции 2 на стр.16-17 данного пособия.

В рассматриваемом примере все предпосылки м.н.к. выполняются, что подтверждает адекватность разработанной модели (5).

Оценим точность разработанной модели. Для этого вычисляем среднюю абсолютную и среднюю относительную ошибку. Расчеты показали следующие результаты:

- средняя абсолютная ошибка разработанной модели равна 25877,8 шт./месяц;

- средняя относительная ошибка равна 4,7%.

Приведем интерпретацию результатов исследований с учетом особенностей анализируемого производственного процесса. В рассматриваемом временном интервале работа участка характеризуется нестабильностью. Среднее абсолютное уменьшение выработки изделий в течение месяца составляет:

∆y_ср = 12707 шт.

Темп уменьшения выработки изделий в последнем месяце 2007г. составил величину (12707/449371)100%=2,83%.

Сезонная компонента V_t отражает увеличение выработки изделий в зимние месяцы года (декабрь-январь) и уменьшение в летние месяцы (июнь-июль) на величину, примерно равную, 50000 шт./месяц. Одной из причин может быть колебания спроса.