Однофакторный дисперсионный анализ

Во многих практических ситуациях представляет интерес влияние того или иного качественного фактора на рассматриваемый показатель. Влияет ли квалификация наладчиков на качество обслуживания ЭВМ? Влияет ли метод построения имитационных моделей на точность моделирования физической системы? Влияют ли примеси на качество стекловолокна? и др. Ответ на эти и аналогичные вопросы удается получить методами однофакторного дисперсионного анализа [6].

Пусть, например, качество программного продукта определяется с помощью k различных тестов и необходимо исследовать, влияет ли фактор «тест» на результат проверки. Если тестов два, то проверка гипотезы о средних показателей тестов проводится методами проверки статистических гипотез о равенстве средних с использованием критерия Стьюдента. Если тестов более двух, то проверка гипотезы о равенстве средних показателей тестов проводится с использованием методов дисперсионного анализа.

Проверяется нулевая гипотеза Н0: m₁=m₂=..=m_k об отсутствии влияния на результативный признак Х (результат тестирования) фактора А (тест), имеющего k уровней A_j , j=1, 2, …k.

Основная идея дисперсионного анализа состоит в том, чтобы сопоставить дисперсию за счет воздействия фактора А с дисперсией, обусловленной случайными причинами (остаточная дисперсия). Если различие между ними несущественно, то влияние фактора А на признак Х незначимо. Если же различие между факторной и остаточной дисперсиями значимо, то это говорит о влиянии фактора А на рассматриваемый признак Х.

Предполагается, что случайная величина Х имеет нормальное распределение с математическим ожиданием m_j , зависящим от уровня фактора A_j и постоянной дисперсией σ². В качестве исходных данных используются выборочные значения величины Х, полученные для каждого уровня фактора А; число элементов выборки на каждом уровне равно n, тогда общее число наблюдений равно nk. Обозначим через x_ij результат i-го наблюдения (i=1,2, … n) за j-м фактором.

Выборочное среднее, соответствующее j-му уровню фактора А (групповое среднее), вычисляется по формуле:

,

а общее среднее .

Общая сумма квадратов – это сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений x_ij от общего среднего:

.

Факторная сумма квадратов, обусловленная влиянием фактора А, - это сумма квадратов отклонений групповых средних от общей средней:

.

Остаточная сумма квадратов характеризует рассеяние внутри группы:

.

На практике эта сумма определяется из основного тождества дисперсионного анализа, в соответствии с которым:

Q=Q_A+Q_e.

Соответствующее число степеней свободы равно:

υ=nk-1; υ_A=k-1; υ_e=k(n-1),

а дисперсии

s²=Q/υ, s_A²= Q_A /υ_A, s_e²=Q_e /υ_e .

Если нулевая гипотеза о равенстве средних справедлива, то эти дисперсии являются несмещенными оценками дисперсий генеральной совокупности. Значительное превышение дисперсии s_A² над дисперсией s_e² можно объяснить различием средних в группах. Поэтому для проверки нулевой гипотезы используется отношение этих средних:

,

которое имеет распределение Фишера с уровнем значимости α и числом степеней свободы (k-1) и k(n-1).

Нулевая гипотеза не противоречит результатам наблюдений на заданном уровне значимости α, если:

F<F_{1-a, (k-1), k(n-1).}

В этом случае считается, что фактор А не оказывает существенного влияния на показатель Х.

Результаты расчета сводятся в таблицу 1, приведенную ниже.

Таблица 1 - Результаты расчета дисперсионного анализа

Пример 1. К закаленному автомобильному стеклу предъявляются высокие требования к допускам на отклонения гнутых изделий от заданной формы. Форму и размеры гнутых изделий проверяют по контрольному шаблону. Контролируется также поперечная кривизна по отклонению образующей линии от цилиндрической поверхности.

Необходимо оценить влияние конфигурации вырабатываемых закаленных автомобильных стекол на дисперсию отклонения образующей линии от цилиндрической поверхности..

Конфигурация стекла, определяется стороной остекления, фактор A. Кодировалась числами: левое – 0, правое -1, k=2. Объем выборки при анализе составил n=313 измерений.

В таблице 2 приведены результаты дисперсионного анализа влияния конфигурации стекла на отклонение образующей цилиндра.

Таблица 2 - Дисперсионного анализа влияния конфигурации стекла на

отклонение образующей цилиндра

Для уровня значимости 0,05, числа степеней свободы υ_A=2-1=1 и υ_e=624 квантиль распределения Фишера равен F_таб=3,856.

Так как выборочное значение статистики оказалось больше критического, нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная: влияние конфигурации стекла на отклонение образующей цилиндра существенно.