Регрессионный анализ.

Подбор вида эмпирических формул. Расчет коэффициентов

Далеко не всегда удается аналитически, опираясь лишь на теоретическое исследование данного процесса, описать необходимую зависимость. В таких случаях основой количественного описания являются экспериментальные данные. Применяют два метода построения эмпирических формул. Один из них состоит в том, что подбирается алгебраический многочлен, принимающий в заданных точках установленные значения, а именно: по наблюдаемым двум точкам строится линейная функция (прямая), по трем — квадратичная (пара­бола) и т.п. Достоинство метода в том, что полученная формула в точности воспроизводит экспериментальные значения. Такого рода формулы называют­ся интерполяционными многочленами. Способы построения интерполяцион­ных многочленов (Лагранжа, Ньютона, Чебышева) освещены в курсе «Выс­шая математика». К недостаткам интерполяционных многочленов следует от­нести то, что при большом числе экспериментальных наблюдений многочлен получается высокой степени и нахождение коэффициентов требует громозд­ких вычислений, а в интервалах между значениями различия между опытной и расчетной зависимостями могут быть как угодно большими. Кроме того, каче­ство математической модели тем выше, чем меньше эмпирических коэффици­ентов она содержит.

Другой метод подбора имперических формул состоит в том, что подбира­ется наиболее простая формула того или иного вида, во многих случаях со­держащая всего два коэффициента, определяемых по экспериментальным данным.

Если при подборе вида формулы удается учесть теоретические представ­ления об изучаемом процессе, то это часто позволяет ограничиться миниму­мом экспериментальных данных и при этом возможна экстраполяция за пре­делами проведенных исследований.

В некоторых случаях при подборе вида формулы удается воспользоваться известными заранее соотношениями для скорости процесса (охлаждения, на-, гревания, фильтрации, диффузии и др.) или данными об угловом коэффициен­те касательной к искомой траектории. В табл. 1.1 приведены наиболее распро­страненные случаи скоростей изменения функций и виды их общих законо­мерностей.

В других случаях вид формул может быть получен при использовании механического (работа, давление и др.) или геометрического (объем, поверх­ность, дуга и др.) смысла определенного интеграла.

Уравнения в дифференциалах получают в результате составления соот­ношений между приращениями и переменными. Для этого процесс мысленно разбивают на элементарные акты, позволяющие допустить линейность соот­ношения между приращениями и переменными, независимость частей целого, применимость фундаментальных законов физики. При использовании матери­альных или тепловых балансов допускают для элементарного акта или объема независимость потоков субстанций за счет различных движущих сил.

Наиболее надежным и простым является определение коэффициентов а, Ъ линейной зависимости у = ах + b. Применяют один из способов: метод выбран­ных точек, метод средних и метод наименьших квадратов. По методу выбран­ных точек выбирают две точки (х₀, уо) и (*_ь у{), отстоящие друг от друга и от концов исследуемого интервала. Коэффициенты а, Ъ находятся из уравнения

Коэффициенты а, b методом средних находятся из условия равенства ну­лю алгебраической суммы отклонений экспериментальных п точек от прямой:

Метод наименьших квадратов является более предпочтительным, так как он требует равенства нулю суммы квадратов отклонений. Параметры а, b находятся из системы

Во многих случаях нелинейные зависимости (степенные, показательные, логарифмические) могут быть приведены к линейному виду с помощью про­стейших алгебраических действий и замены переменных. Этот метод называ­ется выравниванием функций. Например, зависимость у = ае^Ьх после лога­рифмирования и замены 1п у = У приводится к линейному виду У = 1п а + bх.

Наиболее полное исследование зависимости требует применения корре­ляционного и регрессионного анализов. Две случайные величины являются корреляционно связанными, если математическое ожидание одной из них ме­няется в зависимости от изменения другой. Выборочный коэффициент линей­ной корреляции рассчитывается по формуле

где х, у — средние арифметические значения х_;, у;.

о*, о> — среднеквадратические отклонения:

Коэффициент корреляции изменяется в пределах ге[—1;1]. Знак «ми­нус» — признак обратной связи. Недостаток коэффициента корреляции — его применимость лишь для оценки степени сопряженности величин, связанных линейной зависимостью. Метод выравнивания функций, о котором говори­лось выше, позволяет значительно расширить возможности использования ко­эффициента корреляции для оценки меры тесноты связей. Линейную связь обычно считают слабой, если |г|<0,5, сильной при |г|>0,7 и практически функциональной при |г| > 0,9.

В отличие от корреляционной, зависимость между случайной и неслучайной величинами называется регрессионной, а метод анализа этой зависимости — рег­рессионным анализом. Уравнение линейной регрессии ^ по х имеет вид

коэффициент линейной регрессии.

При подборе вида эмпирической формулы удобно пользоваться атласом графиков. Иногда оказывается, что опытная кривая похожа на несколько кри­вых, уравнения которых различны. Нередки случаи, когда та или иная форму­ла достаточно точно выражает зависимость между заданными численными значениями величин, но типичный график этой формулы не похож на экспе­риментальную кривую. Это может быть потому, что экспериментальная кри­вая и график формулы построены для различных интервалов изменения аргу­мента. Выбор масштаба координатных осей также может привести к искаже­нию формы кривой и визуальному отличию.

Чисто формально выбор вида формулы может осуществляться с помощью табл. 4.7.

Таблица 4.7

Таблица выбора вида эмпирической формулы

С помощью таблицы опытных данных выбираем две точки (х_ь у{) и {х_п, у_п), достаточно удаленные друг от друга и отстоящие от краев исследуемого интервала переменной х. Затем, рассчитав х_е и у_е по табл. 4.7, сравниваем для одного и того же х_е значения у_е и у_э (экспериментальное). В случае близости значения у_е и у₃ соответствующая формула считается подходящей (это следует проверить после нахождения параметров аяЬ. Лучшей будет та формула, при использовании которой дисперсия отклонений меньшая.

Пример.

Результаты испытаний на разрушение одноосным сжатием образцов ка­менной соли представлены ниже

28 ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ В ГОРНОМ ДЕЛЕ

Прогнозирование событий, и в частности, последствий разработки полез­ных ископаемых, — чрезвычайно сложное дело из-за взаимосвязанности про­цессов в биосфере. Поэтому очень важен вопрос выбора метода прогнозиро­вания в каждом конкретном случае. Временные интервалы прогнозов могут изменяться в широких пределах — от часов до многих лет, в зависимости от содержания задачи. Одни зависят от цикличности воздействий в системе и должны быть достаточно велики, чтобы обеспечивалась возможность созна­тельного влияния на ожидаемые изменения в экосистеме. Если процесс цик-личен (например, сезонное производство), то прогноз составляется на период не меньший, чем продолжительность цикла. Если прогнозируемый процесс имеет тенденцию роста в течение длительного времени, то прогноз должен рассчитываться на такой промежуток времени, за который можно осущест­вить мероприятия по сохранению экологического равновесия окружающей среды, по наращиванию мощностей и приобретению необходимых материалов и оборудования.

Особенностью прогностических моделей служит невозможность прямой проверки соответствия модели и оригинала. В этом специфика и вместе с тем проблема моделирования будущего.

Более всего распространены в прогностических моделях графические изображения (так называемые «кривые роста») и математические описания. При отсутствии теоретических предпосылок о поведении объекта исследова­ний в будущем используют методы аналогий и математической обработкилтных данных, характеризующих прошлое и настоящее. Однако не следует ывать, что эмпирическая формула справедлива лишь для интервала опыт-х значений и экстраполяция связана с погрешностью тем большей, чем [ыде стремимся распространить зависимость за пределы проведенных ис-дований. С целью повышения достоверности прогноза следует предусмот-ъ его определение несколькими методами. Это дает хороший результат.

В основе составления и анализа прогноза лежат различные методы: ус-щение данных наблюдений в прошлом и настоящем с последующей экст-юляцией полученных зависимостей в будущее; корреляционный и регрес-)нный анализы; математическое программирование в задачах распределе-5 ресурсов; имитационное моделирование; теория игр и статистических иений; анализ случайных функций; экспертные оценки и аналогии в зада-; прогнозирования.

Следует отметить характерную ошибку в прогнозах, когда на основании ;тоянной скорости роста в прошлом предполагают ту же скорость процесса >удущем. Такой подход в прогнозировании называется «наивным» в том ысле, что все происходившее в прошлом и сформировавшаяся тенденция в ;тоящем будут иметь место и в будущем. В двух случаях «наивная экстра­кция» неприменима: при наличии естественного предела (истощение ре->сов и др.) и при изменении факторов, обусловливающих тенденцию в прошлом (темпы осушения, воздействие на окружающую среду и др.).Достаточно ;то в прогнозах используется экспоненциальный рост, вызванный бурным шитием техники и технологии. Экстраполяция процесса в будущее в виде экспоненциальной функции (пропорциональность скорости роста текущему гчению функции) в ряде случаев дает заведомо неверный результат.

Одна из важнейших задач прогнозирования заключается в предсказании )рости, с которой новое решение, идея, технология и техника будут вытес-гь предыдущие, используемые для получения тех же функциональных ха-рактеристик. Анализ статистических наблюдений из самых различных областей естествознания, техники и технологии показал, что изменение эффектив­ен во времени характеризуется S-образными кривыми.

1.1. ПО «Беларуськалий» — особенности управления и характеристики производственной деятельности

В мировой системе калийного производства и на международном рынке калия ПО «Беларуськалий» принадлежит 16% мировых производственных мощностей, 13,5% мирового экспорта. Объединение занимает третье место в мире по вышеназванным технико-экономическим характеристикам после предприятий Канады и России.

Мировые запасы калийных удобрений в пересчете на 100% К,О составляют 8,4 млрд тонн. В Беларуси их сосредоточено чуть меньше 10%. На долю стран СНГ (Беларусь и Россия) приходится 33% мирового производства калийных удобрений, что в пересчете на 100% КС1 составляет 11,3 млн тонн в год. Производителем калийных удобрений в Беларуси является ПО «Беларуськалий», в составе которого четыре рудоуправления, каждое из которых имеет в своем составе рудник для подземной добычи калийной руды и обогатительную фабрику. Сырьевой базой служит Старобинское месторождение, расположенное на юге Минской области. Объединение производит около 3,6 млн тонн в год калийных удобрений в пересчете на 100% КС1, из которых в 1999 г. поставило в страны дальнего зарубежья (включая Прибалтику) около 81% своей продукции, на внутренний рынок — 16,1%, в страны ближнего зарубежья — 2,4%.

Однако, как и другим горнорудным предприятиям, ПО «Беларуськалий» присущ ряд закономерностей, отрицательно влияющих на техническую и экономическую эффективность работы;

- конкуренция на мировом рынке удобрений;

- необходимость крупных инвестиций в отрасль для поддержания объемов производства на достигнутом уровне;

- необходимость отработки участков шахтных полей с более худшими, чем прежде, горно-геологическими условиями;

- неспособность отечественных сельхозпроизводителей оплатить калийные удобрения по цене, обеспечивающей их рентабельное производство;

- значительные затраты на природоохранные мероприятия;

- необходимость замены изношенного очистного оборудования дорогостоящими зарубежными образцами;

- нерентабельность использования дорогостоящего оборудования, когда коэффициент его использования не превышает 0,5;

- истощение сырьевой базы и завершение работы отдельных направлений и горизонтов;

- переход горных работ на более глубокие горизонты, что вызывает рост себестоимости за счет увеличения затрат на вскрытие и подготовку новых запасов, поддержание • выработок в рабочем состоянии, транспортировку полез­ного ископаемого, вентиляцию и др.;

Управление производственной деятельностью горнорудных предприятий — процесс многосложный, творческий и по многим факторам сродни искусству.

Основными составляющими управления производственной деятельностью рудников являются планирование и организация производства и выбор технологии ведения горных работ. Таким образом, говоря об оптимизации производственной деятельности калийных рудников, мы подразумеваем такое управление их деятельностью, при котором технико-экономические показатели производства являются наилучшими для конкретных объективно существующих условий добычи руды и функционирования рудника как производственной системы. Оптимальное управление рудником будет достигнуто тогда, когда его составляющие — планирование и организационно-технические мероприятия, включая технологию ведения горных работ, будут достигать своих наилучших характеристик.

Однако как планирование, организация производства, так и выбор технологии ведения горных работ являются факторами многосложными.

Планирование включает в себя прогнозирование, перспективное планирование и текущее планирование. Организационно-технологические мероприятия, направленные на реализацию планов, предполагают осуществление ряда мер на различных этапах создания и функционирования рудников. Одним из важнейших моментов является организация работ очистных и про­ходческих комплексов. Проектирование рудников, перспектив­ное планирование их деятельности, организация работ очистных и проходческих комплексов — важнейшие аспекты оптимизации производственной деятельности горнодобывающих предприятий.

Для обоснованности технических решений, принятых на эта­пе проектирования рудников, и составления перспективных пла­нов их производственной деятельности, а также для организации работ очистных и проходческих комплексов, включая выбор технологии ведения горных работ, необходимо совершенствовать методику на основе математических методов с применением со­временных вычислительных средств.

ПО «Беларуськалий» является уникальным высокомеханизированным горнорудным предприятием, специализирующимся ни производстве калийных удобрений из сильвинитовой руды. В состав объединения «Беларуськалий» входят четыре рудоуправления, каждое из которых имеет в своем составе рудник для подземной добычи калийной руды и обогатительную фабрику.

Из четырех калийных горизонтов, выявленных в пределах шахтных полей, эксплуатируются два — II и III калийные горизонты. Первый и четвертый горизонты являются забалансовыми из-за высокого содержания вредных примесей и низкого содержания полезного ископаемого.

Для стабилизации хозяйственной деятельности предприятия разработан и готовится к реализации ввод дополнительных мощностей и вовлечение в отработку забалансовых запасов.

Анализ состояния горных работ позволил выявить следующие сдерживающие факторы эффективного развития: изношенность горношахтного оборудования; нарастание деформаций сопряжений околоствольных дворов и камер приводов конвейеров главных направлений;

- сдерживание увеличения добычи руды с III горизонта из-за прямого порядка отработки и возможности подработ­ки нижним горизонтом верхнего.

Кроме того, необходимо учесть мероприятия и значительные затраты для развития и содержания социальной сферы объединения.

Все перечисленные выше факторы требуют выполнения ряда научно-исследовательских и проектных работ, а также принятия сложнейших решений при выполнении функций управления развивающимся производством. Это проблемы перспективного планирования производства.

Решение задач проектирования развития горных работ, а также перспективного планирования производственной деятель­ности калийных рудников будет значительно эффективнее, если оно выполняется совместно с задачами организации работ очистных и проходческих комплексов и выбором технологии веде­ния горных работ. Необходимо отметить, что существующие методики на ПО «Беларуськалий» для решения вышеназванных задач не вполне пригодны.

Анализ производственно-хозяйственной деятельности калийных рудников показал, что в настоящее время в практике проектирования развития горных работ, перспективного планирования производства, соответствующей им организации работ очистных и проходческих комплексов, выбора технологии ведения горных работ имеются существенные трудности.

1.2. Планирование и прогнозирование на ПО «Беларуськалий»

В соответствии с принятой на руднике практикой перспективное планирование осуществляется следующим образом.На начало планируемого периода сильвинитовая обогатительная фабрика (СОФ) выдает руднику задание по объему добычи руды в стандарте (т. е. руда в пересчете на 22%-ное содержание КС1).

На основе задания по объему добычи руды в стандарте находят необходимое количество руды в натуре. Эта величина носит достаточно приближенный характер, поскольку неизвестно процентное содержание KCI в руде, зависящее от выбора типов очистного оборудования для различных очистных участков и объемов подготовительных работ. Следовательно, перспективное планирование должно основываться, прежде всего, на реше­нии задачи организации работ очистных и проходческих комплексов.

После определения количества необходимой руды намеча­ется общее число и распределение очистных и подготовительных забоев, нагрузка на лавы, направление развития работ.

Дальнейшая разработка проекта перспективного плана пре­дусматривает решение следующих задач;

- подготовка приблизительного календарного графика вво­да-вывода панелей (с точностью до года);

- распределение плана добычи руды по руднику между до­бычными участками;

- планирование объемов и сроков проведения подготови­тельных работ.

В основе решения перечисленных задач лежат инженерные соображения, опыт, интуиция. Планирование на этом этапе сводится к взаимоувязке очистных, подготовительных и горно-капитальных работ.

После разработки проект плана горных работ утверждается нышестоящей организацией. Анализ перспективных планов рудников ПО «Беларуськалий» на период 2000-2010 гг. позволяет сделать следующие выводы.

Перспективные планы добычи калийной руды до 2010 г. составлены без привлечения математических методов прогнозирования.

Практика перспективного планирования и организации работ очистных и проходческих комплексов не в полной мере удовлетворяет приведенным выше требованиям.

В настоящее время на разработку перспективного пятилетнего плана горных работ требуется 4-5 месяцев. За это время отыскивается лишь единственный вариант, который отвечал бы основным техническим ограничениям, а не их полному перечню, приведенному выше.

Одновариантность планирования обусловлена:

1. Высокой трудоемкостью и сложностью разработки плана развития горных работ.

2. Невозможностью использования ЭВМ при перспективном планировании в связи с отсутствием формального описания процесса планирования.

Одновариантность — один из самых больших недостатков су­ществующего метода планирования, так как при таком подходе исключается возможность проводить оценку показателей работы рудника в зависимости от принятия каждого из возможных решений по организации работ очистных и проходческих комплексов.

Другим существенным недостатком традиционного подхода к перспективному планированию является то, что отсутствует возможность корректировки принятых решений по мере уточнения исходных данных.

Выделяются следующие виды прогнозов. Краткосрочные — на срок 1-2 года; прогнозы средней срочности — продолжительностью 4-7 лет; долгосрочные — на срок до 20 лет. Очевидно, что при существующем опыте ведения хозяйства ре­альные прогнозы могут быть получены на срок 2-3 года. Как показывает практика перспективного планирования в ПО «Беларуськалий», с достаточной степенью вероятности можно прогнозировать состояние оборудования на период не более 2,5-3 года. Все вышесказанное относится не только к добычным комплексам и к конвейерному транспорту, поддерживающей крепи, вентиляции, которые определяют, в известной мере, нагрузки на забои.

Анализ данных по динамике изменения числа и типов очистною оборудования позволяет сделать вывод о том, что в период с 1990 по 1995 г. наблюдалось активное использование новых типов оборудования и прогнозирование очистного оборудования и гот период являлось уже достаточно сложной задачей.

Следовательно, в период интенсивного развития экономики продолжительность интервала достоверности прогнозов уменьшается.

Неритмичность работы очистных комплексов может быть объяснена сложностью совместного прогнозирования их среднемесячных производственных показателей и составления перспективных планов организации работ очистных и проходческих комплексов, выбора технологии отработки участков шахтных полей традиционными способами. Прогнозирование исходной информации в условиях неритмичной работы рудников достаточно сложная и, зачастую, неразрешимая задача. Ее неверное решение приводит к еще большей неритмичности работы рудников.

Показателем современных методов управления предприя­тием является стабильность показателей работы рудника. Причем, показатели работы рудника могут изменяться по зако­нам, определенным в период планирования его производственной деятельности. Стохастический, случайный разброс показателей работы рудника, без явных тенденций развития, предусмотренных перспективным планом, свидетельствует о необходимости совершенствования методов управления пред­приятием.

Анализ показателей работы рудников ПО «Беларуськалий» позволил установить, что для таких показателей, как объем добычи руды, себестоимость, содержание КС1 в руде, процент содержания нерастворимого остатка и др., характерна значительная изменчивость во времени.

На основании исследований могут быть сделаны следующие выводы:

1. Научно обоснованная методика решения задачи оптимизации ТЭП производственной деятельности калийных рудников отсутствует.

2. Перспективное планирование ТЭП ПДКР, как важнейший элемент их оптимизации, по существу, не удовлетворяет современным требованиям развития народного хозяйства, т. к. является одновариантным.

3. Одновариантность плана не позволяет производить оцен­ку зависимости показателей работы рудника от принятия различных решений.

4. Задача организации работ очистных и проходческих ком­плексов, выбора технологии отработки участков шахтных полей при составлении перспективных планов фактичес­ки не решается.

5. Отсутствие изначально достоверной исходной информа­ции, изменение с течением времени материально-технической базы РУ требует последовательного уточнения деталей плана. Однако длительность и трудоемкость разработки одного варианта перспективного плана не позволяет это сделать. Все вышеизложенное позволяет выдвинуть гипотезу о том, что действительно эффективная оптимизация ТЭП производственной деятельности калийных рудников возможна на основе совместного решения задач проектирования рудников, перспективного планирования их производственной деятельности, организации работ очистных и проходческих комплексов, выбора технологии ведения горных работ. Решение вышеназванных задач обеспечит более совершенную систему управления горными предприятиями.

1.3. Необходимость применения системного подхода и имитационного моделирования ТЭП ПО «Беларуськалий»

Большая открытость отечественной экономики привела к расширению инвестиционных процессов, которые в свою очередь выразились во внедрении самых современных, сложных производств и технологий. Поэтому возникшие перед исследователями и производственниками проблемы усложнились. Их решение требует учета большого количества взаимосвязанных физико-технологических и организационных процессов и явлений. Необходимо совместное решение задач управления, планирования, организации и технологии производства. С методологической точки зрения такая постановка задачи требует системного подхода к ее решению.

Каждый из вышеназванных процессов и явлений описывается отдельной математической задачей, представляющей собой, как правило, определенный класс уравнений и неравенств. Совместное решение таких задач затруднительно, а иногда и вообще невозможно. Поэтому при использовании классических аналитических методов решаемую задачу отделяют от ряда сопряженных с ней задач. Такой прием уже на стадии формулировки (постановки) задачи существенно уменьшает практическую ценность предполагаемого решения.

Несомненно, что прикладные научные исследования будут наиболее эффективными, если они направлены на достижение общей цели. Причем эта цель должна быть максимально конкретной, поддающейся формализации математическими методами. Только в этом случае возможен поиск оптимальных мероп­риятий для достижения цели. Это еще один довод необходимости реализации системотехнического подхода к научным прикладным исследованиям оптимальной добычи калийных руд. Таких доводов можно привести много. Однако убежденности в необходимости системного подхода в научных исследованиях явно недостаточно для его реализации на практике. Необходим выбор такой методики научных исследований, которая позволила бы реализовать системный подход наиболее просто.

Метод математического моделирования и является именно такой методикой. Применение его к решению конкретных прикладных проблем требует дополнительной разработки и совершенствования. Современное бурное развитие средств вычислительной техники, быстродействующих процессоров, устройств автоматического ввода исходной информации, в том числе графической, запоминающих устройств с огромной памятью, а также соответствующее им не менее бурное развитие системного и прикладного программного обеспечения предопределяет (диктует свои правила) модернизацию методов математического моделирования.

Классические математические методы моделирования становятся чересчур громоздкими при необходимости учета большого количества реальных явлений и процессов. Поэтому все более широкое применение приобретают методы математического имитационного моделирования.