Элементы теории вероятностей и математической статистики

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыы может принять то или иное значение. Случайные величины могут быть дискретными (фиксированными) или непрерывными, принимающими любое зна чение в заданном интервале.

Вероятность события — это численная мера объективной возможности это го события. Она изменяется от нуля (невозможность события) до 1 (достоверность события). Если ввести понятие относительной частоты (частости) события кап отношение числа случаев n благоприятствующих событию i, ко всем наблюдавшимся случаям (n), то вероятность i-го события находится по формуле

Сумма вероятностей всех возможных событий г равна 1, т.е.

При достаточно большом значении п относительная частота достаточно правильно отражает (оценивает) значение вероятности события. Суммарная

вероятность распределена определенным образом между отдельными

1-ми событиями. Случайная величина полностью задана, если известно ее рас­пределение. Законом распределения называется соотношение между возмож­ными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностя­ми. Простейшей формой задания закона распределения дискретной случайной величины служит таблица, в которой перечислены все значения х, и р,

Указанная таблица называется рядом распределения.-< Для наглядности ряд распределения часто изображается графически. Для I этого по оси абсцисс откладывают возможные значения случайной величины, I а по оси ординат — вероятности этих значений. Полученная геометрическая фигура (рис. 4.3) называется многоугольником (полигоном) распределения.

Иногда удобна «механическая» интерпретация ряда распределения. Это некоторая масса, равная 1 и распределенная по оси х так, что в отдельных точ­ках х\, х₂, ..., х„помещены соответствующие массы Р_{, Р₂, …, Р„-

Для количественной характеристики распределения непрерывной случай­ной величины удобно пользоваться не вероятностью данного события Х = х, а I вероятностью события X < х, где х — текущая переменная. Вероятность события ■ X < х величина переменная, функция от х. Эта функция называется функцией I распределения случайной величины Xи обозначается Р(х): Р{х) = Р(Х<х).

Свойства плотности распределения:

а) плотность распределения неотрицательная функция:Лх)> 0;

б) интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности равен

Величина Р(х) безразмерная, а Ддс) имеет размерность, обратную случай ной величине.

Гистограмма — это статистический ряд, оформленный графически. Для построения гистограммы на оси абсцисс откладываются интервалы и на каж дом из интервалов, как на основании, строится прямоугольник, площадь кото рого равна относительной частоте данного разряда. Для построения гисто граммы нужно частоту каждого разряда разделить на его длину и полученное число взять в качестве высоты прямоугольника (рис. 4.5).

Этот график представляет собой плотность распределения случайной вели чины X. Интервалы для построения гистограмм выбираются произвольно, но для определения оптимальной величины интервала можно применять формулу

где (х_тах - х_т\„) — размах изменения случайной величины; п — число наблю­дений в выборке.

В качестве основных числовых характеристик применяется математиче­ское ожидание, дисперсия, асимметрия, эксцесс.

Математическим ожиданием случайной величины называется сумма произведений значений случайной величины на вероятность этих значений:

(при достаточно больших п математическое ожидание может

Свойства математического ожидания:

а) М(с) = с;

б) М(сх) = сМ(х)\

в) М(х+у) = М(х) + Л/О);

г) М{ху) = М(х)М(у).

Дисперсией (рассеиванием) случайной величины называется математиче­ское ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математиче­ского ожидания:

и для непрерывных случайных величин