ПОНЯТИЕ О ФИЗИЧЕСКОМ И МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ

Моделирование — это метод исследования процессов и устройств на их моделях с использованием теории подобия. Различают два вида моделирова­ния: физическое и математическое. При физическом моделировании изучение данного объекта (процесса, устройства) проводят при его воспроизведении на моделях, отличающихся масштабом, физические процессы, протекающие в объекте, и модели, в этом случае качественно одинаковы.

Эксперименты проводят на модели, построенной по правилам теории по­добия. Опытные данные обрабатывают и представляют, как правило, в виде безразмерных комплексов величин, характеризующих основные особенности изучаемых процессов, форму и размеры устройств. Безразмерные комплексы величин, являющиеся мерой отношения различных физических эффектов (си­лы вязкости и инерции, конвективный и диффузионный переносы, силы упру­гости и инерции, силы инерции и тяжести и т.д.), называются критериями по­добия (Рейнольдса, Пекле, Эйлера, Фруда, Фурье...). Наличие критериев по­добия в описании экспериментальных зависимостей позволяет распространять результаты опытов на условия производства простым пересчетом.

Переход от модели к объекту осуществляется с помощью критериев по­добия. Физическое моделирование позволяет значительно снизить, стоимость работ по внедрению в производство новых процессов и устройств.

В отличие от физического моделирования математическое служит для изучения процесса на основе анализа математических моделей реального объ­екта. Возможности математического моделирования значительно шире, чем физического метода. Более того, многие задачи, связанные с исследованием сложных систем и управления производством, могут быть решены лишь с по­мощью математического моделирования. Оно состоит из трех этапов:

• формализация изучаемого процесса, объекта — составление мате­матического описания, отражающего главные особенности реаль­ного явления;

• создание алгоритма, моделирующего реальный объект;

• установление адекватности математической модели реальному объекту.

Формализации любого реального процесса предшествует составление со­держательного описания, которое концентрирует имеющиеся сведения о фи­зической природе и количественных характеристиках элементарных явлений исследуемой системы, о степени и характере взаимодействия между ними, об относительной важности каждого элемента. Для составления содержательного описания часто необходимо подробное теоретическое и экспериментальное изучение процесса. Содержательное описание процесса может и не иметь ма­тематической постановки задач, но необходимо четко сформулировать цель исследования, перечень необходимых зависимостей, подлежащих оценке ме­тодом моделирования.

Переход от содержательного описания к математической модели связан с приближениями (замена таблиц, графиков, статистических данных математи­ческими формулами, математическими ожиданиями, пренебрежение излиш­ними подробностями и т.д.). Это обстоятельство в некоторых случаях может играть заметную роль при оценке адекватности (соответствия) результатов моделирования и опытных данных.

Методы математического моделирования позволяют при относительно ма­лых материальных затратах исследовать различные варианты решений постав­ленной задачи, изучить основные закономерности процесса, вскрыть резервы его совершенствования. В зависимости от степени полноты математического описания выделяют два предельных случая. Первый, когда известна полная сис­тема уравнений, описывающих все стороны моделируемого процесса и все чис­ленные параметры модели. Второй, когда полное математическое описание от­сутствует. Этот случай характерен для сложных систем и кибернетических за­дач, которые решают в условиях неполной информации об объекте. Параллельно с решением таких задач создают математическую модель.

При математическом моделировании процесс исследуют, изменяя значе­ния различных параметров, входящих в модель. Это позволяет определить ре­жимы протекания реальных процессов и работы устройств.

Широко используется принцип изоморфности математических моделей для разных по природе явлений. Многие механические, электрические и тепловые явления (например, установившаяся температура и электрический потенциал скоростей при движении однородной несжимаемой жидкости и т.д.) описываются уравнением Лапласа

переносы количества энергии (сила трения)(закон Ньютона), тепла (поток тепла) (закон Фурье), вещества (закон Фика), электричества закон Ома), фильтрации(Дарси), характеризуются подобными формулами, правая часть которых содержит коэффициент переноса и градиент (скорости , температуры , концентрации , напряжения , давления ). Соответствующим пересчетом любое из указанных явлений можно смоделировать переносом электричества. На этом принципе основана работа аналоговых вычислительных машин, а также метод

электрогидродинамической аналогии (ЭГДА). Метод ЭГДА широко распространен При решении задач фильтрации, осушения, переноса тепла и массы и др.

Математическое моделирование начинается с составления модели. Она сострит из совокупности дифференциальных и алгебраических уравнений и неравенств, условий и ограничений, эмпирических формул. Полнота модели определяется корректностью постановки, соответствием числа неизвестных числу уравнений, возможностью расчета по исходным данным выходных параметров. Математическая модель должна обеспечивать возможность анализа хода процесса, воздействия на его течение.

Если основные переменные процесса изменяются во времени и пространстве, то для их описания используются математические модели с распределенными параметрами, которые представляют в виде совокупности дифференциальных уравнений с частными производными.

При изменении переменных только во времени или по длине составляют математические модели с сосредоточенными параметрами. Число искомых переменных должно равняться числу уравнений для их определения.

ПРИНЦИПЫ ИНВАРИАНТНОСТИ ПРИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКЕ ОПЫТНЫХ ДАННЫХ

Если справедливость количественного утверждения не зависит от системы отсчета, то такое утверждение называется инвариантным. Физический смысл имеют только инвариантные утверждения. Всякое выражение, имеющее физический смысл, инвариантно к изменению системы единиц, т.е. не меняет своего содержания при переходе, например, от одной системы единиц к другой. Любая эмпирическая формула, содержащая размерные коэффициенты, не является инвариантной. Однако, преобразовав величины к безразмерному виду, утверждение можно сделать инвариантным. Именно по этой причине подобие явлений определяется численным равенством безразмерных критериев подобия, характеризующих эти явления. Примером приведения к безразмерному виду служит нормирование величин при активном планировании экспериментов:

Два явления или процесса подобны, если по характеристикам одного можно получить характеристики другого явления или процесса простым пересчетом, который аналогичен переходу от одной системы к другой. Для всякой совокупности подобных явлений все безразмерные характеристики (условия подобия) имеют одно и то же значение.

Формирование безразмерных комплексов выполняется на основе теории размерностей. Если явление описывается п размерными параметрами, из которых к величин имеют независимые размерности, то можно составить (п - к) независимых безразмерных комбинаций. Величины с независимыми размерностями образуют базу, т.е. систему размерных величин, определяющих собой остальные.- использование теории подобия и размерностей позволяет сократить число изучаемых факторов, привести зависимость к инвариантному