Имитационное моделирование

Имитационное моделирование — это один из современных методов науч­ного обеспечения исследований и прогнозирования последствий принимае­мых решений. Имитационное моделирование используется:

• для совершенствования методов расчета технико-производствен­ных показателей с учетом случайных факторов;

• для определения площадей со сложной конфигурацией, вычисле­ния интегралов, в том числе «неберущихся», решения уравнений математической физики в задачах диффузии, теплопроводности, деформирования и т.д.

Имитационное моделирование состоит в многократном воспроизведении функционирования (поведения) исследуемой системы на основе математиче­ской модели. Результаты имитационного моделирования представляют собой выборки случайных величин, характеризующих исследуемый процесс. Ими-1ЯЦИОННЫЙ эксперимент можно полностью провести на ЭВМ.

Как правило, расчеты в горном производстве содержат формулы с детер­минированными параметрами. Вместе с тем многие характеристики месторо­ждения, свойств полезного ископаемого, внешних условий разработки и перера- ботки сырья имеют случайный характер. Например особенность гравийно-песчаных месторождений состоит в наличии валунов (крупных обломочных Пород) от 0,2 до 3-4%. Среднее квадратическое отклонение содержания гра­вии и валунов по различным блокам составляет 6-16%, а коэффициент вариа­ции — 13-33%. В результате неоднородности качественных характеристик Полезной толщи месторождения на дробилыю-сортировочный завод поступаетсырье с колебаниями содержания гравия и валунов от 20 до 80%, что в свою очередь вызывает неритмичность работы, потерю производительности и по­вышение энергозатрат оборудования. Изменчивость пород вскрыши (песок, известь, глины, скальные породы) приводит к колебаниям производительности вскрышных машин (экскаваторов, скреперов, бульдозеров) на 40-60%. Примеры можно продолжить, но и сказанного достаточно для вывода о необходимости совершенствования методов расчета горных машин и оборудования с учетом случайного характера величин, влияющих на конечный результат. Эта задача и успехом решается применением имитационного моделирования. В практике брикетного производства обычно по заданной величине проектной мощности брикетного завода рассчитывается и подбирается оборудование (прессы, сушилки, дробилки, грохоты, питатели и др.), а затем составляется материальный баланс с определением расхода сырья для брикетировании в единицу времени. Проблема в том, что характеристики сырья имеют большую вариабельность по влажности, плотности и зольности, а это приводит к значительному снижению производительности технологического оборудования, повышению энергоемкости производства (до 30%), росту удельного расхода сырья на 1 т брикетов (до 20%). Имитационное моделирование позволяв построить расчет технологического оборудования и материального баланса но с конца, а с начала, т.е. с определения характеристик сырья и его расхода (используются реальные случайные характеристики сырья — дисперсия, математическое ожидание, тип распределения), а затем с учетом случайных фактории с заданной вероятностью вывода (в горном производстве достаточно принять ее равной 0,95) рассчитываются значения производительности технологического оборудования в естественной последовательности от сырьевого бункер.I до прессов, с нахождением наиболее достоверной мощности брикетного завода в целом. Расчеты показывают, что в этом случае указанные выше потери энергозатрат и сырья становятся минимальными.

Точно таким же образом задача ставится и решается при определении запасов полезного ископаемого с учетом его случайных характеристик (глубин.I массива, плотность, содержание отдельных компонентов и др.). В известные формулы вместо детерминированных (неслучайных) величин подставляют найденные методом статистических испытаний параметры.

При реализации имитационного моделирования систем со случайными исходами применяют, как отмечалось, метод статистических испытаний. Идеи метода в том, что с помощью специально организованной процедуры, вклю чающей в себя случайность, проводится розыгрыш переменных величин Множество полученных реализаций (исходов) используют как статистически!) материал, обработав который, получают математические ожидания, дисперсии и другие характеристики распределения искомых параметров.

Суть метода рассмотрим на простейшем примере определения площади круга (ограничений на форму фигуры нет), расположенного внутри единично го квадрата

Метод статистических испытаний применяется с успехом для характеристики внутренней поверхности пористого материала. В этом случае используют увеличенную в к раз микрофотографию произвольного сечения пористо го материала. На эту фотографию много раз бросают иголку. Предел, к которому стремится отношение числа попадания иголки в область, занятую пустотами, к общему числу бросаний иголки, равен средней пористости (заме тим, метод разработан в 30-х годах и, имея в своем распоряжении таблицы случайных чисел и ЭВМ, нет необходимости в бросании иголок).

Методом статистических испытаний решается любая задача, но оправ данным он может быть лишь в том случае, если процедура розыгрыша сл> чайных исходов проще, чем другие методы расчета. С увеличением числа розыгрышей п точность расчета асимптотически растет, но следует иметь в виду, что для снижения погрешности в 10 раз; нужно в 100 раз увеличить п. Суть метода применительно к решению интегралов состоит в том, что величине х в подынтегральном выражении ставится в соответствие некоторая случайная величина Е,, математическое ожидание ко торой М{с,) равно х. Затем случайное число Ь, реализуется по какому-либо закону распределения (чаще по закону равномерной плотности распределения) и принимается за приближенное значение величины х. При использовании имитационного моделирования нельзя забывать, что гго статистический эксперимент и его результаты достигают стационарных оценок только после многократных повторений.

10 МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ГОРНОМ ПРОИЗВОДСТВЕ

Оптимизация (optimus — наилучший) — выбор решения, обеспечивающего наилучшие результаты функционирования системы.

Система, для которой показатель ее качества имеет экстремальное значе­ние (минимум или максимум), является оптимальной

Математические методы оптимизации служат основным инструментом теории принятия решений и исследования операций. см. п.11

11 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ. КРИТЕРИЙ ОПТИМИЗАЦИИ

Постановка задачи оптимизации начинается с выявления цели. Критерий оценки достижения поставленной цели называют показателем эффективности, критерием оптимальности или оптимизации. Совокупность параметров сис­темы, при которых обеспечивается экстремум критерия оптимизации, назы­вают оптимальными параметрами. Целевая функция— зависимость критерия оптимизации от независимых переменных (параметров) задачи.

Примером неправильной постановки задачи оптимизации может служить требование одновременного достижения нескольких противоречивых оптимумов, правильной — требование достижения максимума (минимума) лишь одного критерия при ограничениях на значения остальных параметров. Последнее служит необходимым условием задачи оптимизации.

В качестве достаточного условия задачи оптимизации нужно, во-первых, располагать ресурсами оптимизации. Это значит, что объект оптимизации должен обладать определенными степенями свободы, т.е. управляющими воз-действиями, за счет которых можно менять его состояние. Во-вторых, объект оптимизации должен иметь количественную оценку (критерий оптимизации).

Оптимизация процессов горного производства может быть направлена на получение наиболее дешевого продукта или продукции с высокими показате­лями качества, наилучшими условиями охраны труда и санитарии, охраны ок­ружающей среды при комплексном использовании полезного ископаемого. Однако не любая выходная величина может служить критерием оптимизации. Критерий обладает следующими свойствами: оценивается числом; показатели 1ичества и качества процесса изменяются монотонно (за исключением осо­бых случаев, когда критерий принимает лишь два значения — 0 и 1) по сле­дующему закону — чем больше, тем лучше, или наоборот. Критерием не мо­жет быть величина, значение которой должно иметь некоторый зафиксиро­ванный уровень, отклонения от которого в ту или иную сторону недопустимы но физическому или технологическому содержанию процесса. Признаком оптимальности служит достижение экстремума критерия оптимизации.

Выходных показателей процесса, удовлетворяющих перечисленным условиям, обычно несколько. Трудность состоит в выборе главного и наиболее важного показателя — критерия оптимизации. В тех случаях, когда имеет место многокритериальная задача, а таких задач большинство, существуют осо-10ые методы их решения. Главная проблема решения многокритериальной задачи — сведение ее к однокритериальной, так как, в принципе, одновременно достичь экстремальных значений нескольких критериев нельзя. Неправильно требовать, например, минимума затрат на добычу полезного ископаемого при минимуме энергоемкости и трудоемкости.

Известны различные методы сведения многокритериальной задачи к од­нокритериальной. В качестве обобщенного критерия предлагается использовать функцию желательности R = '^R, R₂

R_m где т — число рассматри­ваемых частных критериев оптимизации /?,, R₂,...R_m. Такой подход иногда ре­комендуется для оценки качества продукции. В других случаях из нескольких критериев составляется сумма, частное или произведение. Например, в числителе дроби ставятся все величины, которые желательно увеличить, а знаменателе — те, которые требуется уменьшить. В таком случае стремятся к максимуму обобщенного критерия. Иногда используют в качестве обобщенного показателя эффективности процесса взвешенную сумму частных критериев

R = aiR\+a₂Ri+ …+a_iR_i+ ...+a_mR_m,

где а,— весовые коэффициенты, назначаемые субъективно.

Если некоторый /?, желательно увеличить, то а, при нем бе­рут положительным, в противной ситуации отрицательным. Такой подход из­вестен при оценке уровня управления производством.

В качестве метода решения многокритериальных задач может использо­ваться способ выделения области Паретовских решений.

Используется и другой способ сведения многокритериальной задачи к од-нокритериальной. Для этого выделяют один главный критерий /?, и стремятся обратить его в максимум, а на другие критерии R₂, R₃, ...R_m накладывают ог­раничения, потребовав, чтобы они были не меньше (в задаче на максимум) за­данных значений. В других случаях ранжируют частные критерии оптимиза­ции и выбор оптимального объекта ведут последовательным рассмотрением совокупности объектов с постепенной выбраковкой из них тех, которые име­ют худшие показатели на каждом из этапов. Такой подход применялся при выборе сырьевых баз для организации торфяного производства с комплекс­ным использованием торфа.

Известен также метод решения многокритериальных задач способом по­следовательных уступок. Критерии R_u R₂, ...R_m располагают в порядке убыва­ния важности и определяют решение, обращающее в экстремум самый важ­ный критерий /?,. Затем, исходя из практических соображений, назначается некоторая уступка ДЛ,, которая необходима для нахождения экстремума сле­дующего по важности критерия /?₂. Далее назначается уступка А/?₂ и опреде­ляется следующий экстремум /?₃ и т. д.

В зависимости от поставленной цели применяются экономические, термодинамические, технологические, статистические критерии оптимизации. Наиболее полные критерии — экономические (приведенные затраты, прибыль, себестоимость, фондоотдача, рентабельность).

Последовательность решения оптимизационных задач:

• назначение цели и выбор критерия оптимизации R;

• наложение ограничений на R с помощью дополнительных уравне­ний, неравенств и других условий;

• нахождение зависимости R 0Tx_bx₂.

x_m; • анализ зависимости R (xi, х_г, .... х_т) с целью определения х„ кото­рые можно отнести к числу оптимизирующих воздействий.

Уравнение функции цели принимает следующий вид:

R = R {Х\, х₂, .. .Xi, Xi+i, ..., х_т),

первые i факторов принимаются переменными, а остальные (контролируемые, не регулируемые входы) — как фиксируемые. В окончательной формулировке 1чи требуется найти значения факторов х_ь х₂,...&^:. обеспечивающих экстремум по критерию R. При нахождении зависимости R(x_u х_ъ...,х_т) необходимым элементом (взывается составление и решение уравнений математического описания, ^пользование аналитических методов при определении оптимального решения предпочтительно и более плодотворно, так как при этом удается ис-1едовать характер полученного решения. Однако это не всегда возможно, и поэтому широко используются численные методы оптимизации с применением ЭВМ.

Среди аналитических методов оптимизации следует указать методы исследования функций на экстремум, известные из школьной программы, вариационного исчисления, математического программирования, принцип максимума.

Многие задачи технологии открытых горных работ связаны с определением оптимальных емкостей машин (бункерные уборочные и кузовные машины, скреперы, экскаваторы и др.) при ограничениях на установленную мощность двигателей. Это типичные задачи для приложения метода Лагранжа.

Элементы вариационного исчисления

Наряду с задачами механики, в которых требуется определить экстре мальное значение функции у = J{x), нередко возникает необходимость найти максимум или минимум переменных величин, называемых функционалами значение которых выражается определенным интегралом и зависит от выбор! вида одной или нескольких функций. Примером функционала служит выражение длины дуги

J(_X,y)= jyjl + iy'fdx.

Величина J(x, у) может быть вычислена, если известна у(х). Моменты инерции, статические моменты, координаты центра тяжести не которой кривой или поверхности, площадь поверхности вращения и др. такжч

(шляются функционалами, и их вычисление зависит от вида функций, входя­щих в уравнение кривой или поверхности.

Вариационное исчисление изучает методы, позволяющие находить экс­тремальные значения функционалов.

Многие задачи механики и физики сводятся к утверждению, что функ­ционал в рассматриваемом процессе должен достигать максимума или мини­мума. Эти законы носят название вариационных принципов механики или фи-жки. К числу вариационных принципов принадлежат: принцип наименьшего исйствия, закон сохранения энергии, закон сохранения импульса, закон сохра­нения количества движения, принцип Кастилиано в теории упругости и мно­гие другие.

Таким образом, предметом вариационного исчисления является отыска­ние неизвестных функций _у(*) илиу,(х), реализующих максимум или минимум функционалов вида

х₂

J= ]F[y(x),y\x),x]dx (2.1)

г

или J= \F[y_f(x),y₂(x),...,y_n(x),y\(x),y'₂(x\-,y'_n(x),x]dx, (2.2)

где F— подынтегральное выражение.

Пределы интегрирования х\ и х₂ и граничные значения искомых функций у или у-, известны. Рассматриваются также задачи, в которых пределы интег­рирования (граничные значения функций) неизвестны и нуждаются в опреде­лении.

Предполагается, что рассматриваемые интегралы существуют, а функции у(х) в выражении (2.1) или у,(х) в выражении (2.2), дающие экстремум функ­ционалу, выбираются из множества всех функций, имеющих на заданном от­резке непрерывные вторые производные. Подынтегральная функция F (инте-грант) также имеет непрерывные производные.

Каждая из п функций у\{х), у₂(х), ..., у„(х), реализующая экстремум функ­ционала J(y_i} y\, х), должна удовлетворять, согласно необходимому условию, системе п дифференциальных уравнений (уравнений Эйлера)