Частотные критерии устойчивости

Частотные критерии, рассматриваемые ниже основаны на анализе тех или иных частотных характеристик на плоскости. Достоинствами частотных методов являются:

· наглядность, достигаемая графическими построениями;

· отсутствие необходимости в решении сложных ДУ, используя частотные характеристики, полученные экспериментальным путем;

· возможность анализа определенно взятого параметра САУ на устойчивость;

· возможность суждения о качестве переходного процесса.

Рассмотрим критерий Михайлова, используемый для анализа сложных систем.

7.3.1. Критерий устойчивости Михайлова

Исходным для анализа устойчивости по критерию Михайлова является характеристический полином замкнутой САУ

.

Если подставить в полином чисто мнимое значение , то получим комплексный полином

где

называются соответственно, вещественной и мнимой функциями Михайлова.

При изменении частоты вектор , изменяясь по величине и направлению, будет описывать своим концом на комплексной плоскости некоторую кривую, называемую кривой (годографом) Михайлова.

В основу доказательства критерия Михайлова [3] положено то свойство, что произведение комплексных чисел имеет аргумент, равный сумме аргументов сомножителей.

Если все корни характеристического уравнения (7.3) расположены слева от мнимой оси, то для того, чтобы линейная система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы вектор при изменении от до повернулся, нигде не обращаясь в нуль, вокруг начала координат против часовой стрелки на угол где - степень характеристического уравнения.

Так как комплексная плоскость разделяется на 4 квадранта осями, расположенными под углом то удобнее использовать такую формулировку критерия: для того, чтобы линейная система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении частоты от до , начинаясь при на вещественной положительной полуоси, обходил только против часовой стрелки последовательно квадрантов координатной плоскости, где – степень характеристического уравнения.

Кривая Михайлова для устойчивых систем всегда имеет плавную спиралевидную форму, причем конец ее уходит в бесконечность в том квадранте координатной плоскости, номер которого равен степени характеристического уравнения.

а) б) в)

Рис. 7.2. Примеры различных видов годографов Михайлова

На рис. 7.2, а показаны типичные кривые Михайлова для устойчивых систем, описываемых уравнениями, начиная от первого и кончая пятым порядком. Для удобства сравнения коэффициенты во всех случаях приняты одинаковыми. На рис. 7.2, б показаны типичные кривые Михайлова для неустойчивых систем. На рис. 7.2, в показана типичная кривая Михайлова для системы, находящейся на границе устойчивости.

Критерий Михайлова удобно применять для САУ высокого порядка, например, при n = 6, 8, 10.

7.3.2. Критерий устойчивости Найквиста

Этот критерий используется, когда характеристическое уравнение имеет высокий порядок и заданы экспериментально или алгебраически частотные характеристики САУ. Достоинство его в том, что он позволяет исследовать влияние определенного параметра на устойчивость системы, определить запас устойчивости и может использовать результаты экспериментов. Критерий Найквиста является графоаналитическим методом и требует построения графиков, которые могут быть построены в среде MatLab. Критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутых систем по АФЧХ разомкнутой системы, полученной в результате размыкания (рис. 7.1).

С учетом выражения (7.6) выходной сигнал разомкнутой системы равен

При входном воздействии равном нулю имеем

С учетом равенства (7.5) получим

.

В виду того, что в реальных системах степень полинома меньше степени полинома вследствие инерционности динамических звеньев, то об устойчивости можно судить по корням полинома . Заменив s на jw , получим АФЧХ разомкнутой системы.

Для оценки устойчивости строится амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) разомкнутой системы на комплексной плоскости с координатами P(w) ,G(w) при n 2 или в полярной системе координат при n > 2. При этом используется выражение

.

Здесь W_раз(jw) – АФЧХ разомкнутой системы, которая полученаиз комплексной ПФ W_раз(s) разомкнутой системы (п. 7.1) путем замены переменных s на jω. A(w),j(w) – это соответственно амплитудно- и фазо- частотные характеристики разомкнутой системы. P(w), G(w) – вещественная и мнимая часть частотной характеристики. Задаваясь значениями ω от 0 до находят точки на комплексной плоскости и строят частотные характеристики – АФЧХ.

Рис. 7.3. Графики АФЧХ для определения устойчивости САУ по

критерию Найквиста

Критерий Найквиста, доказательство которого см. в [1], формулируется следующим образом:

если разомкнутая САУ устойчива или находится на границе устойчивости, то для того, чтобы САУ, полученная в результате замыкания была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении ω от 0 до не охватывала на комплексной плоскости точку с координатами (–1, j0);

если разомкнутая система неустойчива, а её ПФ имеет m полюсов справа от мнимой оси, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении ω от 0 до – охватывала точку (–1, j0) m раз.

На рис. 7.3, а показана кривая 1– АФЧХ устойчивой САУ и кривая 2 – неустойчивой САУ, когда разомкнутая система устойчива. На рис. 7.3, б) показана АФЧХ САУ при неустойчивой разомкнутой исходной системе, имеющей m = 4. Эта система будет устойчивой, потому что пересечение кривой оси P(w) левее точки (–1, j0) снизу вверх равно пересечению сверху вниз.

Исходя из критерия Найквиста можно сформулировать условие устойчивости в виде удобном для определения запаса устойчивости.

Если обозначить при , тогда замкнутая система будет устойчивой при и неустойчивой при . На рис. 7.3, а показано, что для устойчивой системы , а для не устойчивой – . Причем чем меньше единицы , тем больший запас устойчивости по модулю имеет система. Таким образом, кривая Найквиста позволяет определить запас устойчивости по модулю и, тем самым, дает возможность изучить влияние параметров системы на устойчивость, чтобы синтезировать САУ с заданным запасом устойчивости.

Также по критерию Найквиста можно определить запас устойчивости по фазе. Имея в виду, что запас по фазе – это эта величина, определяемая на частоте, при которой =1. Запас по фазе показывает, какой отрицательный по фазе сдвиг можно сообщить системе, не теряя устойчивость.

7.3.3. Определение устойчивости путем построения диаграммы Боде (ЛАЧХ)

Анализ устойчивости САУ по критерию Найквиста в некоторых случаях удобно производить методом построения диаграммы Боде, а именно с помощью ЛАЧХ (7.10)

L(w)=20 lg A(w)

и фазово-частотных характеристик

.

Достоинство этого метода в том, что ЛАЧХ удобны для построения их в «ручную» и, как указывалось ранее, могут использоваться для анализа качественных характеристик системы.

В соответствии с критерием Найквиста, замкнутая минимально-фазовая система (у которой порядок числителя в выражении для ПФ ниже порядка знаменателя и нули расположены в правой полуплоскости) устойчива, если при достижении частотной характеристикой значения π, ЛАЧХ будет отрицательной.

Рис. 7.4. Кривые Боде для анализа устойчивости

Точка пересечения ЛАЧХ с осью ω характеризуется частотой среза ω_с.

На рис. 7.4,a) при φ =- π ордината ЛАЧХ имеет отрицательные значения – это соответствует устойчивости системы. Отрицательность ЛАЧХ при свидетельствует о том, что АФЧХ разомкнутой системы не охватывает точку (­-1, j0).

На рис. 7.4, b) показаны графики соответствующие граничному условию устойчивости, когда ЛАЧХ пересекает ось ω при φ = -π.

На рис. 7.4, c) показан случай неустойчивого состояния САУ. Здесь при φ = -π ордината ЛАЧХ, соответствующая частоте среза, положительна.