Свойство системы ограничений транспортной задачи

Теорема 6.2. Ранг системы векторов-условий транспортной задачи равен .

Доказательство. Как известно из линейной алгебры, для нахождения базиса системы векторов необходимо составить однородную систему уравнений

.

Эту систему с помощью преобразований Жордана приводят к равносильной разрешенной; в базис включают векторы, соответствующие разрешенным неизвестным. Ранг системы векторов равен числу векторов, входящих в базис, т. е. числу разрешенных неизвестных этой системы.

Системе векторов условий транспортной задачи , i=1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n соответствует однородная система уравнений

,

где – нулевой вектор (транспонированный).

Запишем матрицу этой системы (она является также матрицей системы ограничений транспортной задачи):

Если к последней строке (уравнению) прибавить (n–1) строку (уравнений), начиная с (m + 1)-й, и вычесть первые m строк, то получится строка, состоящая из нулей. Это значит, что число разрешенных неизвестных в этой системе и ранг r системы векторов условий не может быть равен числу m+n уравнений. Следовательно r £ m + n -1.

Покажем, что найдутся N = m + n - 1 линейно независимых векторов-условий. Из векторов-условий задачи выберем следующие: и убедимся, что они линейно независимые. Для этого составим систему уравнений

.

Матрица этой системы имеет вид

C помощью элементарных преобразований можно привести ее к единичной. Для этого строки, с (m+1)-й до (m+n-1)-й умножим на (-1) и прибавим к первой строке, тогда в ней останется только одна единица, остальные элементы будут нулевыми. После этого первые m строк умножим на (-1) и прибавим к последней строке. В результате в матрице останутся единицы только по диагонали, а последняя строка будет состоять из нулей. Следовательно, система уравнений имеет единственное нулевое решение

, а система векторов линейно независима.