Необходимое и достаточное условие разрешимости транспортной задачи

Теорема 6.1. Для того чтобы транспортная задача линейного программирования имела решение, необходимо и достаточно, чтобы суммарные запасы поставщиков равнялись суммарным запросам потребителей

,

т. е. задача должна быть с правильным балансом.

Доказательство. Необходимость. Пусть задача имеет допустимое решение

, , i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n.

Докажем, что . Подставим в уравнения системы ограничений (6.2) и (6.3), получим

, i = 1, 2, ..., m, , j = 1, 2, ..., n .

Просуммируем первую и вторую группы тождеств по отдельности

и .

Отсюда следует, что задача имеет правильный баланс .

Достаточность. Пусть задача имеет правильный баланс

= М.

Докажем, что в этом случае задача имеет оптимальное решение.

Сначала убедимся в том, что область допустимых решений задачи является не пустым множеством. Проверим, что , i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, .., n является допустимым решением. Подставим в левые части уравнений системы ограничений (6.2), (6.3), получим

, i = 1, 2, ..., m,

, j = 1, 2, ..., n,

т. е. уравнения обращаются в тождества. Очевидно, что удовлетворяет и условиям неотрицательности.

Далее покажем, что существует оптимальное решение. Учитывая, что стоимости перевозок единиц груза ограничены сверху и снизу , где C и D – конечные постоянные, можно записать

.

Следовательно, целевая функция ограничена на множестве допустимых решений и, как всякая непрерывная функция достигает своего наименьшего (а также и наибольшего) значения.