Ожидаемый доход и вариация портфеля P1.

Если портфель Р₁ состоит из Х бумаг А и (1-Х) бумаг В, то:

1. Доходность портфеля:

R_P1 = Х * R_A + (1-Х) * R_B; (10.1)

ожидаемая доходность:

Е(R_P1) = Х * E(R_A) + (1-Х) * E(R_B); (10.2)

Е(R_P1 ) = 0,6 * 8,15 + 0,4 * 6,6 = 2,445 + 4,62 = 7,53.

2. Ковариация (Cov) вычисляется примерно так же, как дисперсия. Однако вместо того, чтобы вычислять типичное отклонение доходности актива от ее ожидаемого значения, нужно измерить степень, в которой колебания доходностей этих двух активов стремятся усиливать или, наоборот, взаимно компенсировать друг друга. Ковариация – это произведение отклонения активов от ожидаемой доходности:

Cov(R_A,R_B) =∑[p_{s *} (R_As-E(R_A) ) * (R_Bs-E(R_B))]. (10.3)

Иногда мы не знаем ковариацию, но мы можем найти коэффициенты корреляции и две вариации. В этом случае вы можете найти ковариацию следующим образом:

Cov(A,B) = σ_AB = Corr(A,B) * SD(A) * SD(B), (10.4)

или в стандартных символах:

Сov(A,B ) = ρ_AB * σ_A * σ_B. (10.5)

Ковариация может быть больше, меньше и равна нулю, что иллюстрирует рис. 10.5.

Положительная ковариация свидетельствует об усилении взаимных колебаний двух активов, отрицательная ковариация означает, что колебания доходностей двух активов компенсируют друг друга.

Рис.10.5. Варианты ковариаций доходностей двух активов.

Различные варианты ковариаций доходностей двух активов приводят к различным результатам диверсификации. Отрицательная ковариация означает различную реакцию доходностей двух активов на изменение условий инвестирования (сценариев). Такое их поведение дает надежду на то, что портфель составленный из таких активов будет менее подвержен риску инвестирования.

3. Корреляция (Corr) является нормальным линейным распределением, коэффициент корреляции (ρ) определяем как:

ρ_АB = Соv (R_A,R_B) / σ_А σ_В. (10.6)

4.Дисперсия портфеля:

Var(R_P1) = σ_P1² = [X * σ_A +(1- X) * σ_B ]² = Х^{2 *} σ_A² + (1-Х)² * σ_B² + 2Х * (1-Х) * σ_AB = = Х² * Var(R_A)+(1-Х)² * Var(R_B)+2X * (1-Х) * Cov(R_A,R_B), (10.7)

таким образом, σ_P1² = Х² * σ_A² + (1-Х)² * σ_B² + 2Х * (1-Х) * σ_AB (10.8)

Иначе это можно рассчитать через ковариационную матрицу.

Ковариационная матрица выглядит следующим образом:

A B

A Var(R_A) Cov(R_A,R_B)

B Cov(R_A,R_B) Var(R_B)

A B

A 4,3275 -5,04

B -5,04 5,94

При X = 0,6 и (1-Х) = 0,4 дисперсию портфеля (Var(R_P1)) можно найти из следующей матрицы:

X (0,6) 1-X (0,4)

X (0,6) 4,3275 -5,04

1-X (0,4) -5,04 5,94

Затем берем каждую ячейку ковариационной матрицы умножаем на колонку и строчку пропорций ценных бумаг в портфеле:

1,5579 -1,2096

-1,2096 0,9504

Суммируя все строки и колонки вместе, получаем дисперсию доходности портфеля P₁:

Var (R_P1) = 0,6*0,6*4,3275+0,6*0,4*(-5,04)+0,4*0,6*(-5,04)+0,4*0,4*5,94 = 0,0891.

Мы можем получить волатильность (стандартное отклонение) портфеля P₁ путем извлечения квадратного корня из дисперсии портфеля P₁:

Vol(R_P1) =√0,0891 = 0,2985, или

Vol(R_P1) = , (10.9)

т.е. . (10.10)

Vol(R_P1) = = 0,2985.

Все расчеты можно легко произвести в EXCEL.

Этот пример показывает абсолютно отрицательную корреляцию.

Как видно диверсификация портфеля из двух отрицательно коррелированных активов дает значительное снижение риска (σ_P1 = 0,2985), в сравнении с рисками каждого из активов в отдельности (σ_A = 2,0803, σ_B = 2,43721), при относительном «усреднении» ожидаемой доходности (7,53% против 8,15% для ценной бумаги А и 6,6% для актива В).

Графически ожидаемая доходность и риск портфеля Р₁ при любой комбинации активов (пропорции, любом значении Х) представлена на рисунке 10.6.

Рис. 10.6. Возможная доходность и риск портфеля P1 ,состоящего из комбинации двух активов A иB.

В следующем примере, в котором имеет место положительная корреляция (хотя не абсолютная), присутствуют бумаги C и D. В этом примере видно, что даже положительно коррелированные ценные бумаги приводят к положительным результатам диверсификации портфеля.