Сравнение выражений

Вначале рассматривается сравнение чисел с опорой на множества, и результат фиксируется с помощью знаков «больше», «меньше», «равно». После этого дети сравнивают число и выражение, найдя значение выражения, сравнивают его с данным числом.

Например, 5 ∙ 3 + 4, 5 ∙ 5 – 2. Желательно давать не только готовые выражения, но и составлять их, используя предметные действия с множествами. На третьем этапе дети сравнивают два выражения вида 10 – 5 и 3 + 4; 8 – 3 и 8 – 4. В таких выражениях сравнение можно производить не только нахождением их значений, но и наблюдением за компонентами действия. (Чем большее число мы отнимем от одного и того же числа, тем меньше будет остаток).

Работа по сравнению выражений и составлению верных равенств часто связана с преобразованием выражений на основе изучаемых свойств:

310 ^. 12 ∙ 310 ^. 10 + 310 ^. 2; 180 : (10 ^. 3) ∙ 180 : 10 ^. 3; (10 + 9) ^. 4 ∙ 10 ^. 4 + 9.

При сравнении выражений дети знакомятся с терминами «равенство» и «неравенство», которые могут быть верными или неверными.

В программе «Школа 2000» алгебраический материал не только связан с арифметическим материалом, но и является материалом для развития учащихся. Он намного богаче содержанием и вводится с первого класса.

Как и в традиции, составляются выражения (по рисункам), причем не только числовые, но и буквенные:

П + К а + б a + б = к, к – а = б

Рано вводятся термины «равенство», «неравенство», «выражение».

Сравнение выражений основано на рассуждении:

7 - 4 ∙ 7 + 1; а + д ∙ а – д, 8 – к ∙ 9 – к…

Правила о порядке выполнения действий рассматриваются с точки зрения алгоритмов (т.е. составление программ).

3 + (8 – 2) 3 + 8 – 2

Для закрепления правил выполняются такие упражнения

1) расставь скобки по заданной программе;

2) составь выражения по схеме-«дереву»;

3) составь программу действий в выражении

a : b – c ^. (d + k) ^. m : n

Выражение с переменной

Вопрос 20. Формирование представлений об уравнении. Методика обучения решению уравнений и задач, решаемых уравнением.

В начальной школе рассматриваются уравнения, содержащие только одно действие. Первоначально они решаются подбором. В дальнейшем уравнения решаются на основе зависимости между компонентами и результатами действий.

В традиционной школе уравнения вводятся во втором классе, а в других системах – с начала обучения. Дети знакомятся с терминами «уравнение» и «решение уравнения». Для закрепления этих понятий предлагаются упражнения: «Выбери среди данных записей уравнения», «Преврати (составь) уравнения». Кроме этого включаются задания такого вида:

«Угадай корни: 7 + х = 7; 7 – у = 0; n – 0 = 7; а – а = 7; b – b = 0».

Методом составления уравнения решаются некоторые простые задачи: Площадь прямоугольника 36 см², длина – 9 см. Найти его ширину.

В «Школе 2000» уравнения вводятся в 3 части 1 класса. Вначале выполняются привычные операции с множествами-«мешками»:

ooo + х = ooov х = v,

и вводится термин «уравнение».

Опорой для решения уравнений являются понятия части и целого. В течение подготовительного периода учащиеся осваивают эти понятия в операциях с множествами и усваивают их соотношения: чтобы найти одну часть надо от целого отнять другую часть.

Последовательность введения уравнений такая же, как и в традиционной программе, но на одном уроке при закреплении могут встречаться уравнения разных видов, т.к. основа их решения похожа.

Помощниками в решении уравнениях являются:

1) рисунки весов 2 + х = 4

2) схемы 5 – х = 4 х + 3 = 7

3) числовые отрезки

4) уравнения с линиями

Кроме уравнений на нахождение части и целого, включены нестандартные уравнения:

26 + 26 + 26 = 26 ^. у ; у + у + у = 115 ^. 3;

145 ^. х = 145; 8 ^. х = 0 ; 5 ^. х = 45;

х : х = 1; х ^. 1 = х; 0 ^. х = 0; х : 0 = 0; х : 1 = х.

Во 2 классе. включены уравнения вида а ^. х = b, а : х = b, х : а = b

Основой для их решений является зависимость между сторонами прямоугольника и его площадью: чтобы найти сторону

Структура уравнений во 2 кл. не меняется, только изменяется числовое множество: 200 ^. х = 600.

В 3 кл. происходит обобщение знаний по уравнениям: вводится термин „уравнение“, „решение уравнения“ и рекомендуется решать их с комментированием:

(х+3) : 8 = 5

1. Неизвестное делимое х+3. Чтобы найти …

2. Упрощение…

3. Неизвестное…

Уравнения содержат 3-4 действия (m^..4+6) : 9 = 2

При изучении дробей включены уравнения

,которые решаются аналогично.

В системе РОЗ (М1А, стр. 19) вводятся термины «равенства», «неравенства», с помощью рисунков составляются верные равенства и неравенства. Неверные неравенства превращаются в верные.

Во второй четверти вводятся уравнения - дается определение уравнения, его решения (« решить уравнение – значит найти такое число, при котором получается верное равенство»). Первоначально рассматриваются уравнения вида

х + 5 = 9, которые вводятся через задачу.

Уравнения могут быть не стандартными:

( 5 + х ) + 2 = 11,где надо догадаться при сравнении равенств,

( 5 + 4 ) + 2 = 11,чему равно неизвестное.

В конце первого класса, дети знакомятся с уравнениями вида:

13 – х = 5 , 17 – а = 9, которые решаются на основе правил нахождения вычитаемого, а затем и уменьшаемого:

к – 4 = 7, к – 12 = 6.

Все виды этих уравнений даются в сравнении друг с другом:

а + 7 = 15, 15 – а = 7, а - 7 = 8,

надо выяснить связь этих уравнений и тогда найти решение.

Во втором классе продолжается работа над уравнениями, где надо найти самое большое число и воспользоваться обратными действиями:

а + 23 = 41 85 – к = 72

х ^. 7 = 56 е : 4 = 9

Уравнения, связанные с действиями умножения и деления решаются с помощью таблицы умножения (подбором).

Для решения уравнений другим способом изучаются основные свойства равенств:

1) а = b, ó a + c = b + c, ó a– c = b – c.

2) a = b, c 0 ó a ^. c = b ^. c, ó a : c = b : c.

12х – х - 55 = 0 11х – 55 = 0

5 у + 7 = 62 5у + 7 = 62

Уравнения вида 5х + 15 = 80 – 8 х , , 7^. (а – 1) = 3^. (а + 9) решаются на основе свойств равенств .

Вопрос 21. Методика изучения геометрического материала в начальной школе.

Математическое развитие школьников невозможно без приобщения их к геометрии. В начальных классах ставится задача расширить и уточнить представления учащихся о геометрических фигурах, а также развивать их пространственное мышление в процессе выполнения различных практических упражнений.

Для осуществления методической работы, направленной на решение этих задач, учителю необходимо знать, что геометрия как наука строится на базе основных понятий и аксиом, а новые факты вводятся дедуктивным путем. Школьный курс геометрии – это евклидова геометрия на плоскости и в пространстве. Эта геометрия опирается на понятие величины и ее измерения. Формирование представлений о геометрических фигурах в начальной школе связано с изучением длины и площади.

Основой формирования представлений о геометрических фигурах явля­ется способность детей воспринимать форму предмета. Эта способность позво­ляет узнавать, различать и изображать различные геометрические фигуры:

Основными геометрическими фигурами, изучаемыми в начальной школе, являются: точка, прямая и кривая линии, отрезок и ломаная, а затем угол, прямоугольник, квадрат, многоугольник, треугольник.

«не «не квадрат» «не прямоугольник» «треугольник» «многоугольник»

В дальнейшем необходимо изучать существенные свойства объектов для точных представлений о них. Для этой цели геометрические фигуры изучают в определенной последовательности, выполняя с моделями различные практические действия.

Точка- след карандаша, ручки, мела. Через точку дети проводят различные линии: прямые и кривые. Убеждаются, что через точку можно провести сколько угодно прямых и кривых, а через две точки – только одну прямую и множество кривых.

Прямая - основное и неопределяемое понятие. Если согнуть лист бумаги, то линия сгиба будет моделью прямой. Прямую через одну или две точки можно проводить только по линейке. В процессе выполнения этих упражнений дети должны научиться различать такие понятия, как: «точка пересечения двух линий», «прямая проходит через точку», или «точка принадлежит прямой» и т.д. Учащиеся могут находить прямые и кривые линии на различных геометрических фигурах: «круг», «квадрат», «прямоугольник», «пирамида», «конус», «цилиндр», «шар» и т.д.

Отрезок – это часть прямой между двумя ее точками. Отрезок имеет начало и конец, любая его точка может быть и концом и началом. Отрезок имеет длину. Отрезки можно сравнивать, складывать и отнимать, измерять.

Ученику начальных классов трудно различать такие понятия как «прямая» и «отрезок» и идти к пониманию отрезка от прямой. В просторечии слово «отрезок» почти не употребляется, говорят: «прямая», «идти по прямой», но при этом никто не имеет в виду бесконечную прямую, как принято в геометрии. Бесконечную прямую нельзя изобразить на бумаге. В учебниках математики для начальной школы принято при изображении отрезка отмечать его начало и конец точками или штрихами, чего нет в изображении прямой.

Угол можно ввести как фигуру, образованную двумя лучами, исходящими из одной точки. Такой подход к введению понятия угла возможен там, где вводится понятие луча, как части прямой, имеющей начало, но не имеющей конца. (например, М1А). В учебнике М2П углом называют часть плоскости, заключенной между двумя лучами, исходящими из одной точки, причем называют меньшую часть, т.к. плоскость делится лучами на две части.