Правило сложения дисперсии

Если данные представлены в виде аналитической группировки, в статистике рассматривают три вида дисперсии:

— общая дисперсия;

— дисперсия средняя из внутригрупповых;

— межгрупповая дисперсия.

Общая дисперсияизмеряет вариацию признака х во всей сово­купности под влиянием всех факторов, обусловливающих эту ва­риацию.

Межгрупповая дисперсия(факторная) объясняет вариацию, вы­званную признаком, положенным в основу группировки. Средняя из внутригрупповых дисперсия(остаточная) объясня­ет ту часть вариации, которая вызвана действием (влиянием) на признак х всех остальных признаков (факторов), кроме группировочного.

Правило сложения дисперсиизаключается в том, что общая дисперсия равна сумме межгрупповой и средней из внутри­групповых дисперсий:

,

где - межгрупповая дисперсия;

- средняя из внутригрупповых дисперсия.

Расчет средней из внутригрупповых проводится в два этапа. Пер­воначально рассчитываются дисперсии по каждой группе, как квадрат отклонений индивидуальных значений признака в группе от средней, рассчитанной в пределах группы:

, ,

где п_i — численность i-ой группы.

На втором этапе по средней арифметической взвешенной рассчи­тывается средняя из внутригрупповых дисперсия:

Межгрупповая дисперсия определяется как квадрат отклонений средних, рассчитанных по каждой группе от средней, рассчитан­ной в пределах всей совокупности, взвешенных численностью группы:

Правильность расчетов дисперсии при помощи правила сложения дисперсии можно подтвердить расчетом общей дисперсии по обычной формуле.

Поскольку правило сложения дисперсии позволяет разложить дисперсию на дисперсию, возникающую под влиянием фактор­ного признака (группировочного), и остаточную дисперсию, оно широко используется при изучении взаимосвязей между призна­ками.

На основе правила сложения дисперсии в статистике разработаны меры связей между факторным и результативным признаками: коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное от­ношение.

Коэффициент детерминацииопределяется как отношение меж­групповой дисперсии к общей дисперсии:

.

Коэффициент детерминации характеризует долю общей колебле­мости результативного признака, которая вызвана признаком, по­ложенным в основу группировки.

Эмпирическое корреляционное отношениехарактеризует тесно­ту связи между признаками и определяется следующим образом:

Пример использования правила сложения дисперсии.

Имеются данные о распределении мага­зинов по объему товарооборота (табл. 3):

Таблица 3

Определите общую дисперсию, используя правило сложения дисперсии.

= 527,9 + 197,3 = 725,13

Для проверки правильности расчетов определим общую дисперсию обычным способом:

Это значит, что 72,8% вариации издержек обращения объясняется признаком, положенным в основу группировки, то есть товарооборотом. Соответственно, 27,2% вариации результативного признака может быть объяснено прочими факторами, не учтенными в группировке:

Эмпирическое корреляционное отношение — показатель тесноты связи. Он характеризует уровень согласованности в изменениях факторного признака» (объем товарооборота) и результативного признака (величина издержек обращения).

Эмпирическое корреляционное отношение показывает степень влияния товарооборота на издержки обращения. Иногда дают ве­роятностную интерпретацию: с вероятностью 0,853 мы можем предсказать изменения издержек обращения, зная изменение то­варооборота.

Значения эмпирического корреляционного отношения лежат в диапазоне от 0 до 1: О - 0,3 — слабая связь;

0,3 - 0,7 — умеренная;

0,7 - 1,0 — сильная.

Выводы:

1. Наличие вариации обусловливает необходимость статистики. Статистика изучает толь­ко варьирующие явления.

2. Показатели вариации характеризуют однородность совокупности и служат необходи­мым дополнением при расчете средней величины.

3. Для упрощения расчетов основного показателя вариации — дисперсии — применяют сокращенные способы расчета дисперсии, основанные на свойствах дисперсии.

4. На основании дисперсии (правило сложения дисперсии) рассчитывается эмпириче­ское корреляционное отношение и коэффициент детерминации, которые служат для харак­теристики взаимосвязи между признаками.