величин. Правило Лопіталя.
Теорема 10.4. Якщо функції і
на деякому відрізку
задовольняють умови теореми Коші і
, то з існування границі
випливає існування границі
, і дві останні рівні, тобто
. (10.3)
Рівність (10.3) називається правилом Лопіталя.
Доведення. Розглянемо точку і на відрізку
запишемо теорему Коші:
,
де . За умовою теореми
, тому остання рівність дає
. (10.4)
Перейдемо в рівності (10.4) до границі при . Оскільки
, то
при
. Таким чином,
.
Теорема доведена
Наслідок 10.4.1. Попередня теорема має місце й у випадку, коли функції і
не визначені в точці х=а, але
і
.
Досить довизначити функції і
в точці
, так щоб вони були неперервні, тобто
Наслідок 10.4.2. задовольняють
Наслідок 10.4.3. Правило Лопіталя справедливе й у випадку , тобто коли
,
.
Дійсно, нехай , тоді
при
і
.
Застосувавши правило Лопіталя до відношення , отримаємо
Приклад 10.1.
.
Приклад 10.2.
.
Приклад 10.3.
.
Приклад 10.4.
.
10.5.Границя відношення двох нескінченно великих
Функцій.
Теорема 10.5. Нехай функції і
ізнеперервні і диференційовані при всіх
з деякого околу точки а, в якому
, і нехай
і
. Тоді якщо існує границя
, (10.5)
то існує границя і справедлива рівність
. (10.6)
Доведення. В розглядуваному околі точки а виберемо два значення аргументу і х таких, що
(
). Тоді з теореми Коші слідує
,
де або
.
Зробимо тотожні перетворення в останній рівності:
або
. (10.7)
В (10.7) зафіксуємо і перейдемо до границі при
:
(10.8)
Права частина рівності (10.8) дає:
. (10.9)
Таким чином, із (10.8), (10.9) отримуємо
. (10.10)
Права частина (10.10) є функцією значення с , яке залежить від вибору числа . Перейдемо в останній рівності до границі при
. Так як при цьому, очевидно,
, а ліва частина від
не залежить, то отримаємо
.
Таким чином теорему доведено
Наслідок 10.5.1. Рівність (10.6) справедлива і у випадку, коли .
Дійсно, тоді і з останньої теореми слідує, що
або
Наслідок 10.5.2. Доведена теорема легко поширюється на випадок .
Це слідує з наслідку 10.4.3
Приклад 10.5.
.
Приклад 10.6.
.
За допомогою двох останніх теорем можна також розкривати невизначеності типу .
Приклад 10.7. Знайти границю
.
Розв’язування. Нехай
,
тоді
.
Таким чином, або
і
.
10.6.Формули Тейлора і Маклорена.
Припустимо, що в деякому околі точки а функція має всі похідні до (n+1)-го порядку. Знайдемо такий многочлен
, який в точці
набуває значення
, а всі його похідні до n-го порядку в цій точці рівні значенням відповідних похідних функції
, тобто
(10.11)
Многочлен будемо шукати у вигляді многочлена за степенями двочлена х-а:
. (10.12)
Коефіцієнти С0 , С1 , С2 , ..., Сn треба підібрати такими, щоб виконувалась умова (10.11).
Знайдемо похідні многочлена :
(10.13)
З (10.11)–(10.13) маємо:
або
(10.14)
Підставивши (10.14) в (10.12), отримаємо
Нехай – різниця між значеннями заданої функції і многочлена
, тобто
, тоді
. (10.15)
Означення 10.1. Функція називається залишковимчленом.
Проведемо оцінку залишкового члена. Для цього представимо його у вигляді
, (10.16)
де – невідома функція, яку потрібно знайти.
Підставимо (10.16) в (10.15)
, (10.17)
і розглянемо допоміжну функцію :
, (10.18)
де t лежить в проміжку між а і х.
Знайдемо :
або після скорочення
. (10.19)
Таким чином, з рівностей (10.17)–(10.19) слідує, що функція неперервна і диференційована на
або
та
, тобто для даної функції справедлива теорема Ролля:
, де z розміщене між а і х. З (10.19) отримуємо, що
і залишковий член можна подати у вигляді
,
який називають формою Лагранжа для залишкового члена.
Іколи застосовують запис , де
, і залишковий член набирає вигляду
.
Таким чином, ми отримали формулу
, (10.20)
яка називається формулою Лагранжа для функції .
Частинний випадок формули (10.20) при , тобто
(10.21)
називається формулою Маклорена.
10.7.Розклад за формулою Маклорена функцій
.
1. Для функції маємо
і формула (10.21) набирає вигляду
(10.22)
2. Нехай , тоді
Таким чином,
. (10.23)
3. Аналогічно можна записати формулу (10.17) для функції :
,
. (10.24)
Приклад 10.8. Обчислити з точністю до 0,001.
Розв’язування. Використаємо формулу (10.22) – розклад функції за Маклореном. В нашому прикладі
, тому залишковий член можна оцінити наступним чином
або
.
Знайдемо n, при якому залишковий член не перевищує значення 0,001:
;
;
;
.
Отже, в формулі Маклорена досить взяти п’ять перших доданків, щоб отримати значення з точністю до 0,001:
.
Запитання для самоконтролю.
1. Сформулюйте і доведіть теорему Ролля.
2. Дайте геометричне тлумачення теореми Ролля.
3. Сформулюйте й доведіть теорему Лагранжа.
4. Дайте геометричне тлумачення теореми Лагранжа.
5. Сформулюйте і доведіть теорему Коші.
6. Виведіть правило Лопіталя.
7. Які ви знаєте наслідки правила Лопіталя?
8. Як розкривати невизначеності типу ,
?
9. Запишіть формули Тейлора і Маклорена.
10. Що таке залишковий член і форми його запису?
11. Запишіть формули Маклорена для функцій .
Приклади до розділу 10.
1. Показати, що між коренями функції міститься корінь її похідної.
2. Функція дорівнює нулю при
. Показати, що на інтервалі
її похідна не рівна нулю.
3. Перевірити справедливість формули Лагранжа для функції на відрізку
.
4. Записати формулу Коші для функцій на відрізку
і знайти с. Відп.: с=14/9.
5. Знайти границі:
а) Відп.: 2. б)
. Відп.: –2.
в) . Відп.: –1/6. г)
. Відп.: 1/3.
д) . Відп.: 1. е)
. Відп.: 0.
6. Знайти границі:
а) . Відп.:
. б)
. Відп.:
.
в) . Відп.: –1. г)
. Відп.:
.
д) . Відп.: 1. е)
. Відп.:
7. Розкласти за степенями двочлена многочлен
.
8. Записати формулу Маклорена для функції , якщо
.
9. Знайти з точністю до 0,001.
Дата добавления: 2016-05-05; просмотров: 1152;