Средняя арифметическая, способы расчета

Если данные представлены в виде ряда распределения, то вопрос о выборе формы средней решается однозначно — средняя ариф­метическая. Этот вывод можно сделать, если вспомнить о том что ряд распределения есть не что иное как распределение значе­ний варьирующего признака по частоте их появлений в совокуп­ности.

Ряды распределения довольно часто встречаются в статистиче­ской практике. При этом варианта может быть задана в виде ин­тервалов, если признак непрерывный, или в виде индивидуаль­ных значений, если ряд дискретный. Для дискретных рядов рас­чет осуществляется по вышеприведенной формуле средней арифметической взвешенной. Для интервального ряда распреде­ления задача расчета средней величины решается следующим об­разом. Предполагаем, что в пределах интервала значения призна­ков располагаются равномерно, поэтому середина интервала бу­дет величиной, характеризующей весь интервал, то есть наиболее типичным для него значением. Данное предположение не всегда выполняется поэтому, чем меньше величина интервала, тем точ­нее его середина будет характеризовать весь интервал. Далее ис­пользуется обычная формула средней, только значения варианты будут приравниваться к середине соответствующего интервала. Расчет средней по непрерывному признаку (представленному в виде интервалов) был рассмотрен в примере 2.

В том случае, если ряд распределения имеет равные интервалы, расчет средней может быть существенно упрощен. Упрощенные способы расчета средней арифметической базируются на знании ее свойств.

Свойства средней арифметической:

- если все веса (f) увеличить или уменьшить в одинаковое число раз (d), то величина средней не изменится:

- если каждую варианту (х) увеличить или уменьшить на одну и ту же величину, то средняя увеличится или уменьшится на эту же величин:

- если каждую варианту (х) увеличить или уменьшить в одно и то же число раз (h), то средняя увеличится или уменьшится в то же число раз.

- сумма отклонений вариант от средней, взвешенных их частотами равна нулю:

Перечисленные свойства средней арифметической используются при расчете средней способом моментов или способом отсчета от условного начала (0). При использовании этого способа последо­вательно осуществляются следующие операции:

— определяются срединные значения интервалов как полу­сумма начала и конца интервалов;

— варианта (серединное значение интервала) с наибольшей частотой принимается за условное начало отсчета (А);

— рассчитывается момент 1 -го порядка:

где

i — величина интервала.

Средняя рассчитывается по формуле:

Пример расчета средней арифметической способом моментов.

Имеются следующие данные о продаже трехкомнатных квартир агентством недвижимости (табл. 6):

Таблица 6

Определите среднюю стоимость квартиры.

При использовании способа моментов удобнее всего результаты расчетов заносить в таблицу, для этого заранее в таблице резервируется три расчетных графы.

На основании данных таблицы рассчитываем момент 1-го порядка: итог по 5 столбцу делим на итог по 2 столбцу.

(тыс. руб.)

Средняя стоимость квартир выставленных на продажу составляет 404 тыс, руб.

Наряду со средней арифметической и средней гармонической, к другим степенным средним относится средняя геометрическая. В статистике она используется для осреднения темпов роста, коэф­фициентов динамики:

Средняя квадратическая используется при расчете показателей вариации, в частности — среднеквадратического отклонения, при исчислении средних ошибок выборки:

,