масса одинакова у тел, уравновешивающих друг друга на весах;
2) масса складывается, когда тела соединяются вместе: масса нескольких тел, взятых вместе, равна сумме их масс.
Если сравнить данное определение с определениями длины и площади, то увидим, что масса характеризуется теми же свойствами, что и длина и площадь, но задана она на множестве физических тел.
Чтобы помочь детям выделить массу среди других свойств, следует предлагать им для сравнения предметы, имеющие одинаковую форму, но разные массы, одинаковую форму и размеры, но равные массы и т.д. Сюда следует включать и цвет, и материал, из которых сделаны предметы, и добиваться, чтобы дети различали размеры, форму, массу.
Измерение массы производится с помощью весов. Выбираем тело е, масса которого принимается за единицу. Предполагается, что можно взять и доли этой массы. Например, если за единицу массы взят килограмм, то в процессе измерения можно использовать и такую его долю, как грамм: 1 г = 1/1000 кг.
На одну чашку весов кладут тело, массу которого измеряют, а на другую – тела, выбранные в качестве единицы массы, т.е. гири. Этих гирь должно быть столько, чтобы они уравновесили первую чашку весов. В результате взвешивания получается численное значение массы данного тела при выбранной единице массы. Это значение приближенное. Например, если масса тела равна 5 кг 350 г, то число 5350 следует рассматривать как приближенное значение массы данного тела (при единице массы – грамм).
Для численных значение массы справедливы все утверждения, сформулированные для длины, т.е. сравнение масс, действия над ними сводятся к сравнению и действиям над числовыми значениями масс (при одной и той же единице массы).
Основная единица массы – килограмм. Из этой основной единицы образуются другие единицы массы: грамм, тонна и др.
Первая единица массы, с которой знакомятся учащиеся, - килограмм. Это одна из основных единиц в Международной системе единиц, которая кратко обозначается "СИ" (с 1 января 1980 г. действует только эта система). С этой единицей массы учащиеся знакомятся в ходе упражнений по определению массы. Но прежде чем ввести первую единицу измерения массы, следует с детьми организовать работу по уточнению их представлений об этой величине. С этой целью целесообразно предложить им задания для сравнения предметов по массе.
Например. Предложить учащимся: взять в одну руку книгу (учебник математики), а в другую - тетрадь и показать руками, что легче (тетрадь); высказать мнение о книге (тяжелее, чем тетрадь). Затем предложить им взять в одну руку учебник математики, а в другую - учебник русского языка и рассказать о них (одинаковые; могут быть и другие мнения). Теперь предложить подумать, как можно проверить, кто прав? (На весах). Выяснить у детей, какие они видели весы и где? (С чашками, со стрелкой, электронные в магазине). Предложить высказать свои предположения о том, как нам проверить то, что мы утверждали.
В результате разговора учитель подводит детей к пониманию того, что надо положить на обе чашки весов по книге. Если книги одинаковые по массе, то весы будут в равновесии, если нет, то чашка с более тяжелой книгой опустится вниз.
Здесь же учитель должен ввести термин "масса", так как дети в жизни с нимпрактически не встречаются.
Затем целесообразно приготовить и показать два предмета абсолютно одинаковые внешне. Например, два кубика, один из которых склеен из бумаги, а другой деревянный и оклеен бумагой. Предложить детям высказать свое мнение об их массе. Оно вероятнее всего будет неверным. Уточнить его надо опять с помощью весов. В результате такой работы учитель подводит детей к пониманию того, что предметы по массе можно иногда сравнивать на глаз, через ощущения, но точнее с помощью весов.
В ходе дальнейшей беседы учитель выясняет с детьми, что масса предметов измеряется также с помощью весов. И проводится работа по знакомству с первой единицей массы - килограммом.
На урок, где происходит знакомство с килограммом, целесообразно принести чашечные весы и несколько предметов, масса каждого из которых равна килограмму (пачка сахара, соли) и другие предметы, масса которых либо меньше, либо больше килограмма.
Предметы взвешиваются, выясняется, что масса некоторых из них равна 1 кг. Учитель говорит о том, что это единица измерения массы, показывает образец записи.
Эту работу следует организовать так, чтобы в ней принимали участие как можно больше детей (один кладет предмет, другой ставит гири, третий следит за равновесием и т.д.). Остальные дети привлекаются к пояснению, почему весы вышли из равновесия, что надо сделать, чтобы привести их в равновесие.
Здесь же необходимо познакомить детей, как правильно пользоваться весами. Вначале устанавливается предмет (груз), а затем подбираются гири. Затем выполняются упражнения в измерении массы предметов в 2 кг, 3 кг. При этом используются гири массой в 1 кг и массой в 2 кг. Попутно дети упражняются в записи полученных именованных чисел.
Детям целесообразно сообщить массу часто встречающихся в быту предметов: буханка хлеба, литр молока, воды, ведро картофеля и др.
Для закрепления и расширения знаний об основной единице измерения массы - килограмме работа по определению массы предметов с помощью весов продолжается на уроках в дальнейшем. Однако следует отметить, что в этой работе необходимо использовать различное дидактическое оснащение (рисунки, модели весов и гирь).
В дальнейшем учащиеся знакомятся с новой единицей массы - граммом. Этот термин учащимся известен.
Задача учителя - сформировать конкретное представление о массе в 1 грамм. С этой целью детям дают подержать гирьку в один грамм или предметы такой массы. Затем выполняются упражнения в определении массы предметов с точностью до грамма.
После ознакомления с граммом возможности проведения различных упражнений в определении массы значительно расширяются. Здесь используются знакомые детям чашечные весы, происходит более детальное знакомство с циферблатными и пружинными весами. При работе с весами учащимся следует показать, как правильно должны быть установлены циферблатные весы (стрелка на нуле), как смотреть на шкалу, < научить определять цену делений, читать показания шкалы.
С этой целью следует изготовить демонстрационную модель шкалы на 500 г с делениями. К шкале прикрепить подвижную стрелку. На этой модели учащиеся смогут упражняться в чтении чисел по шкале и установке стрелок в различных положениях.
Наряду с работой, проводимой в классе целесообразно организовать экскурсию в школьный буфет, либо в ближайший к школе магазин. Учащихся нужно познакомить и с различными правилами определения массы товара в таре (сюда относятся жидкие и сыпучие вещества и др.). Правила такие:
1) определяется масса тары, с помощью которой будет определять масса товара, а затем она вычитается из общей массы;
2) на другую чашку весов ставится точно такая же порожняя тара;
3) порожняя тара уравновешивается любым грузом, положенным на другую чашку весов; На последнем году обучения в начальных классах учащиеся знакомятся с новыми единицами измерения массы - тонной и центнером. Здесь же обобщаются знания учащихся о мерах массы, устанавливаются соотношения между всеми единицами измерения массы, известными ученикам, составляется таблица мер массы.
1 т = 1000 кг | 1 ц = 100 кг |
1 кг = 1000 г | 1 т = 10 ц |
Таблица мер массы должна быть заучена учениками, причем усвоение ее строится не на простом заучивании мер, а в процессе решения разнообразных задач и упражнений и выполнении практических работ.
Создать конкретные представления о новых единицах массы значительно труднее, ввиду их различности.
Поэтому здесь нужно использовать рисунки, таблицы, иллюстрации.
Целесообразно привести такие примеры:
масса двух мешков картофеля примерно равна 1 ц, масса одного мешка сахара примерно равна 1 ц, масса всех учеников одного класса, в котором 30-35 человек примерно составляет 1 т. Если есть возможность, надо ознакомить детей с весами, на которых определяется масса предметов в несколько центнеров или тонн. Это можно сделать только на экскурсии.
Здесь же изучается преобразование именованных чисел, выраженных в мерах массы, сравниваются полученные числа, над ними выполняются арифметические действия.
В начальных классах учащимся дается первоначальное представление о литре - единице измерения объема (емкости).
Так как в начальных классах не вводится понятие объема и не изучаются единицы измерения объема, то следует ограничиться ознакомлением учащихся с процессом измерения вместимости некоторых предметов (банка, кастрюля, металлическая кружка, стакан). Целесообразно показать сравнение емкостей, выявить, какая из них больше и показать необходимость использования единой меры - литра.
3. Время и его измерение
Время - одна из основных величин, изучаемых в начальных классах. Следует отметить, что изучение мер времени, и ориентировка во времени представляют для детей значительные трудности. Это связано, прежде всего, с особенностями этой величины. Время течет непрерывно, его нельзя ни остановить, ни возвратить, поэтому восприятие промежутков времени, сравнение событий по продолжительности вызывает определенные трудности. Восприятие времени зависит от того, чем и как оно заполнено. И не удивительно, что временные представления у детей развиваются медленно.
В обыденной жизни время – это то, что отделяет одно событие от другого
В математике и физике время рассматривают как скалярную величину, потому что промежутки времени обладают свойствами, похожими на свойства длины, площади, массы.
Промежутки времени можно сравнивать.
Промежутки времени можно складывать, вычитать, умножать на положительное действительное число.
Промежутки времени измеряют. Но процесс измерения времени отличается от измерения длины. Промежуток времени, принятый за единицу, может быть использован лишь один раз. Единицей времени должен быть регулярно повторяющийся процесс. Такой единицей в Международной системе единиц названа секунда. Наряду с секундой используются и другие единицы времени: минута, час, сутки, год, неделя, месяц, век. Такие единицы, как год и сутки, были взяты из природы, а час, минута, секунда придуманы человеком.
Год — это время обращения Земли вокруг Солнца. Сутки — время обращения Земли вокруг своей оси. Год состоит приблизительно из 365 — сут. Но год жизни людей складывается из целого числа суток. Поэтому вместо того, чтобы к каждому году прибавлять 6 ч, прибавляют целые сутки к каждому четвертому году. Этот год состоит из 366 дней и называется високосным.
Нужно показать, когда и какими приборами мы измеряем время в секундах. Очень хорошо использовать метроном.
Век - это такая единица измерения времени, длительность которой ощутить практически невозможно, поэтому приводить детям примеры, связанные с длительностью века не стоит. Надо учить детей определять, сколько целых столетий прошло за определенный промежуток.
Календарь с таким чередованием лет ввел в 46 году до н. э. римский император Юлий Цезарь в целях упорядочивания существующего в то время очень запутанного календаря. Поэтому новый календарь называется юлианским. Согласно ему новый год начинается с 1 января и состоит из 12 месяцев. Сохранилась в нем и такая мера времени, как неделя, придуманная еще вавилонскими астрономами.
В Древней Руси неделя называлась седмицей, а воскресенье — днем недельным (когда нет дел) или просто неделей, т. е. днем отдыха. Теперь в русском языке день отдыха называется воскресенье — от слова «воскрешать», т. е. придавать силы, оживить. Названия следующих пяти дней недели указывают, сколько дней прошло после воскресенья. Понедельник — сразу после недели, вторник — второй день, среда — середина, четверг и пятница — четвертые и пятые сутки, суббота — конец дел.
Месяц не очень определенная единица времени, он может состоять из тридцати одного, тридцати и двадцати восьми (двадцати девяти в високосные годы) дней. Но существует эта единица времени с древних времен и связана с движением Луны вокруг Земли. Один оборот вокруг Земли Луна делает примерно за 29,5 сут., и за год она совершает примерно 12 оборотов. Эти данные и послужили основой для создания древних календарей, а результатом их многовекового усовершенствования является тот календарь, который используется в настоящее время.
Вернемся к юлианскому календарю. Этот календарь, принятый христианской церковью, распространился среди всех европейских народов и просуществовал более 16 столетий.
Но постепенно люди стали замечать, что результаты измерения времени по календарю не сходятся с результатами измерений по Солнцу. Например, 21 марта—день весеннего равноденствия в XVI веке пришелся на 11 марта по календарю. Откуда взялась эта разница в 10 дней? Они накапливались постепенно, из года в год, поскольку год по юлианскому календарю на 11 мин 14 с больше солнечного и за 400 лет набегало примерно трое с лишним суток. Чтобы в дальнейшем расхождения не возникало, в новом григорианском календаре, названном в честь тогдашней главы католической церкви папы Григория XIII и принятом в 1582 году, было уменьшено число високосных лет. По юлианскому календарю високосными были все годы, число которых делилось на 4. По григорианскому из их числа исключались те, которые были «вековыми» и не делились на 400: например, 1600 год—високосный, а 1700, 1800 и 1900 из числа високосных исключались, они содержали по 365 суток. Заглядывая вперед, скажем, что 2000 год. будет високосным, а 2100, 2200, 2300 нет.
Этот календарь был принят в европейских странах. В России до Великой Октябрьской социалистической революции православная церковь отклоняла эту реформу. Здесь жили по юлианскому календарю, что причиняло многие неудобства. Например, телеграмма из-за границы приходила в Россию на 13 дней раньше, чем была отправлена. Много раз русские ученые пытались заставить царское правительство изменить старый календарь, но только декретом Советского правительства 14 февраля 1918 года у нас был введен новый стиль. В соответствии с этим декретом февраль 1918 был укорочен на 13 дней. После 31 января наступило сразу 14 февраля. С тех пор мы и живем по новому стилю.
Заметим, что если юлианский календарный год длиннее солнечного на 11— мин, то григорианский всего на 26 с. Лишние сутки накопятся только в 50-м веке н. э.
Григорианский календарь принят не всеми государствами мира. Например, Египет и другие страны Востока пользуются другим календарем — лунным. Год по этому календарю равен 12 лунным месяцам и короче солнечного на 11 дней. Кроме того, если по григорианскому календарю 1986 год, то, например, в Иране это 1406 год. Чем это вызвано?
Чтобы вести счет, надо иметь начало отсчета. У времени нет начала и нет конца. Оно течет и течет. Поэтому, чтобы считать, нужно самим установить начало счета. Установить начало суток, года можно разными способами. Так, древние египтяне вели летоисчисление по годам правления фараонов, китайцы — по годам царствования и династиям императоров, римляне — от основания города Рима и от первого года царствования того или иного императора, другие народы — от мифического «сотворения мира» или от «рождения Христа».
В Древней Руси год начинался весной, в марте, когда приступали к полевым работам. С введением христианства на Руси был принят юлианский календарь и начало летоисчисления от «сотворения мира», причем это «сотворение мира» христианская церковь приурочила к 5508 году до «рождества Христова», а началом года считала 1 сентября. Такой отсчет лет велся на Руси до начала XVIII столетия. Указом Петра I Русское государство перешло на другое летоисчисление: началом года стало 1 января, а года стали считать не от «сотворения мира», а от «рождества Христова». В соответствии с ним год принятия указа 7208 стал 1700 годом. Счет лет от рождения мифического Христа в настоящее время принят большинством государств и называется нашей эрой (н. э.).
Современное деление суток на 24 ч также восходит к глубокой древности, оно было введено в Древнем Египте. Минута и секунда появились в Древнем Вавилоне, а в том, что в часе 60 мин, а в минуте 60 с, сказывается влияние шестидесятеричной системы счисления, изобретенной вавилонскими учеными.
Упражнения
1. Луна совершает полный оборот вокруг Земли за 29 сут. 12 ч 44 мин 3 с. Выразите этот промежуток времени в секундах.
2. Постройка дома была начата 12 марта и закончена 7 декабря того же года. Сколько дней строился дом?
3. Знаменитый греческий математик Архимед умер в 212 г. до н. э. Сколько веков и сколько лет прошло со дня смерти Архимеда?
4. В 1956 г. исполнилось 2000 лет со времени введения юлианского календаря (старый стиль) и 374 года со времени введения григорианского календаря (новый стиль). В каком году был введен старый стиль и в каком году новый стиль?
5. Выполните действия:
1) сложите 5 лет 7 мес 8 дней и 3 года 2 мес 4 дня;
2) из 5 ч 36 с вычтите 45 мин 40 с;
3) 7 ч 48 мин 56 с умножьте на 18;
4) 9 нед 21 ч 52 мин разделите на 1 нед 23 ч 44 мин.
6. Решите арифметическим и алгебраическим способами:
1) Машинистка должна была перепечатать рукопись за 8 дней. Однако она выполнила работу за 6 дней, так как печатала ежедневно на 6 страниц больше, чем планировала ранее. Сколько страниц в рукописи?
2) Из совхоза до ремонтной мастерской велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч, а возвращался со скоростью 15 км/ч, поэтому затратил на обратный путь на 18 мин меньше. Сколько километров от совхоза до ремонтной мастерской?
Лекция 60. Геометрические величины: связь величин
Другие величины, рассматриваемые в начальном курсе математики. Объем тела и его измерение. Пропорциональная зависимость между величинами (скорость, время, расстояние; цена, количество, стоимость и др.).
Понятие величины, принимающей различные численные значения, является отражением изменяемости окружающей нас действительности. Но всевозможные изменения в реальном мире не происходят не зависимо друг от друга. Изучение этих связей посредством изучения зависимостей между величинами является способом применения математики для решения практических задач, способом математизации знаний.
Зависимости между величинами многообразны. Их изучают различные науки. Мы будем говорить в основном о тех, с которыми встречаются учащиеся в начальном курсе математики. Рассмотрим величины, связанные с равномерным прямолинейным движением - время, скорость и расстояние. Зависимость между временем (t), скоростью (v) и расстоянием (S), пройденным телом при прямолинейном равномерном движении, может быть выражена формулой S = v · t.
Если движение таково, что скорость принимает одно и то же значение, то зависимость пройденного расстояния от времени прямо пропорциональная, так как выражается формулой вида .у = kх (S = v · t)/ Переменная х есть время движения, а переменная у — пройденное раcстояние/ Коэффициент k обозначает скорость движения.
Прямо пропорциональная зависимость между временем и пройденным расстоянием обладает свойством: во сколько раз увеличивается (уменьшается) время движения, во столько же раз увеличивается (уменьшается) пройденное расстояние.
Зависимость расстояния прямолинейного равномерного движения от времени (при постоянной скорости) может быть и линейной, т. е. она может выражаться формулой вида у = kх + b, где k и b — некоторые данные числа.
Рассмотрим в качестве примера такую задачу: «Туристы за день прошли пешком 18 км, а остальной путь проехали на автобусе со скоростью 45 км/ч. Какой путь проделали туристы за день, если на автобусе они ехали 2 ч? 3 ч? 4ч?»
Если туристы на автобусе ехали 2 ч, то всего за день они проделали путь
5 = 18 км + 45 км/ч · 2 ч =18 км + 90 км = 108 км.
Если они ехали на автобусе 3 ч, то всего за день они проделали путь
S =18 км + 45 км/ч · 3 ч = 153 км.
За 4 ч они проделали путь 5 = 18 км + 45 км/ч · 4 = 208 км.
Видим, что зависимость между временем и пройденным расстоянием линейная, так как она может быть представлена формулой вида S = v · t. + Sо, где Sо = 18 км, а v == 45 км/ч.
Если среди величин S, v, t две величины — скорость и время — принимают различные значения, а расстояние постоянно, то зависимость между скоростью и временем движения обратно пропорциональная, так как может быть выражена формулой у = k : х, где переменная х есть скорость движения, переменная у — время движения (или наоборот), достоянная k есть расстояние, которое надо пройти телу.
Обратно пропорциональная зависимость между скоростью и временем движения обладает свойством: во сколько раз увеличивается (уменьшается) скорость движения, во столько же раз уменьшается (увеличивается) время, затраченное на движение.
Знание зависимости между величинами, данными в текстовой задаче, позволяет находить различные способы ее решения. Рассмотрим, например, задачу: «Из двух городов выехали навстречу друг другу два мотоциклиста. Один мотоциклист двигался со скоростью 90 км/ч и проехал до встречи 180 км. Какое расстояние проехал до встречи другой мотоциклист, если он двигался со скоростью 45 км/ч?»
В задаче речь идет о движении мотоциклистов. Оно характеризуется тремя величинами: скоростью, временем и расстоянием. Согласно условию задачи значения времени движения одинаковы, а скорость и расстояние принимают различные значения. Зависимость между этими последними величинами может быть выражена формулой
у = k · х (S = v · t) и, значит, S и v — величины прямо пропорциональные.
Задача может быть решена двумя арифметическими способами.
1 способ сводится к отысканию коэффициента (t — времени движения мотоциклистов) . Зная его и скорость движения второго мотоциклиста, нетрудно найти и расстояние, пройденное им. Чтобы найти время движения мотоциклистов, разделим расстояние, пройденное первым мотоциклистом, на скорость движения: 180 км: 90 км/ч==2 ч. Умножив скорость второго мотоциклиста на время его движения, получим путь, пройденный им: 45 км/ч-2 ч = 90 км.
2 способ решения этой же
. Значит, и путь, пройденный вторым мотоциклистом, в 2 раза меньше пути, пройденного первым:
180 км : 2 = 90 км.
Рассмотрим еще такую задачу: «Скорость машины 60 км/ч, скорость велосипедиста в 5 раз меньше. Велосипедист проехал расстояние от своего села до железнодорожной станции за 2 ч. За сколько минут можно проехать это расстояние на машине?»
В задаче речь идет о трех величинах: скорости, времени и расстоянии. Две из них — скорость и время — принимают различные значения, а третья величина — расстояние — постоянна. Зависимость между скоростью и временем обратно задачи основан на свойстве прямой пропорциональности: найдем: во сколько раз скорость движения второго мотоциклиста меньше скорости движения первого.
90 км/ч : 45 км/ч = 2 раза пропорциональна, так как может быть выражена формулой t = S : v.
I способ решения этой задачи сводится к отысканию коэффициента S, т. е. расстояния от села до железнодорожной станции. Зная его и скорость движения машины, можно будет найти и время ее движения.
Найдем сначала скорость велосипедиста: 60 км/ч : 5 = 12 км/ч, а затем расстояние от села до станции: 12 км/ч · 2 ч =24 км, и, наконец, время, за которое машина пройдет 24 км: 24 км : 60 км/ч = 24 мин.
Можно было поступить иначе, выразив скорость движения машины в другой единице — км/мин. Так как 1 км/ч = 1\60 км/мин, то 60 км/ч = 60 · 1/60 км/мин =1 км/мин. Значит, 24 км :1 км/мин = 24 мин. '
2 способ решения этой задачи основан на свойстве обратной пропорциональности: поскольку скорость машины в 5 раз больше скорости велосипедиста, то времени для машины надо в 5 раз меньше, т. е. 2 ч =2 · 60 мин = 120 мин и 120 мин : 5 =24 мин.
Аналогичные зависимости существуют и между другими величинами, рассматриваемыми в начальных классах. Например, такими, как:
а) стоимость товара, его количество и цена;
б) объем работы, время работы и производительность труда;
в) количество ткани, количество изделий и расход на одно изделие.
Упражнения
1. Установите, какие величины рассматриваются в задаче, какая между ними существует зависимость, и решите ее различными арифметическими способами:
1) За одно и то же время теплоход «Метеор» прошел 216 км, а пароход 72 км. Чему равна скорость «Метеора», если скорость парохода 24 км/ч?
2) На 10 к. купили 2 одинаковых конверта. Сколько стоят 6 таких конвертов?
3) Из 20 м ткани сшили 5 платьев. Сколько можно сшить из этой ткани кофт, если расходовать на каждую из них в 2 раза меньше ткани, чем на платье?
4) 12 кг варенья разложили в 6 банок поровну. Сколько надо таких банок, чтобы разложить 24 кг варенья?
5) Рабочему поручено изготовить за 10 ч 30 деталей. Но рабочий, экономя время, успевал делать одну деталь за 15 мин. Сколько деталей сверх задания сделал рабочий за счет сэкономленного времени? - ' .
2. Решите арифметическим и алгебраическим способами:
1) Из города А в город В вышла грузовая машина, а спустя 2 ч из города В в город А вышла легковая машина. Грузовая машина проходит в среднем по 42 км/ч, а легковая — по 65 км/ч. На каком расстоянии от города В встретятся машины, если между городами А и В 619 км?
2) Для детского сада на 16 р. 56 к. куплены яблоки по 72 к. и груши по 80 к. за килограмм. За яблоки заплачено на 2 р. 16 к. больше, чем за груши. Сколько было куплено яблок и сколько груш?
3) За книгу, ручку и линейку уплатили 1 р. 55 к. Сколько стоит каждая вещь, если известно, что ручка на 30 к. дороже линейки, а книга на 65 к. дороже ручки.
Заключение
Математика родилась в связи с практической необходимостью систематизировать знания, которые накопились с развитием человеческого общества, о числах, формах и размерах разных предметов. Именно из непосредственных запросов практики возникли начала арифметики и элементарной геометрии.
Дальнейшее формирование новых математических понятий, теорий, методов и идей связано с прогрессом естествознания, техники, с появлением новых общественных потребностей. Современная математика насчитывает несколько десятков разных областей математического знаний, что частично отражено в данном курсе. С помощью математики можно изучать все виды движения материи. Без современной математики с ее развитым логическим и вычислительным аппаратом был бы не возможен прогресс других наук, техники и социальной сферы.
В основе построения математических теорий лежит аксиоматический метод, при котором в фундамент теории кладутся некоторые исходные положения, называемыми аксиомами теории, а все остальные предложения теории получаются как логические следствия аксиом.
В математике изучаются математические модели. Одна и та же модель может описывать свойства далеких друг от друга по своему конкретному содержанию реальных явлений или объектов. Так, прямая пропорциональная зависимость описывает не только равномерное движение, но и объем выполненной работы, площадь прямоугольника, стоимость товара и др. Для математики важна не природа рассматриваемых объектов, а существующие между ними отношения.
- анализ значимости рассмотренных вопросов для научной теории, практики;
- рассмотрение области применения полученных при изучении данной учебной дисциплины знаний;
- информация о нерешенных вопросах изучаемой отрасли знаний, существующих научных школах, гипотезах;
- характеристика перспектив развития данной науки или научного направления.
Дата добавления: 2016-05-11; просмотров: 1652;