Площадь произвольной плоской фигуры и ее измерение
Пусть F - произвольная плоская фигура. В геометрии считают, что она имеет площадь S(F), если выполняются следующие условия: существуют многоугольные фигуры, которые содержат F (назовем их объемлющими); существуют многоугольные фигуры, которые содержатся в F (назовем их входящими); площади этих многоугольных фигур как угодно мало отличаются от S(F). Поясним эти положения. На рисунке показано, что фигура Q содержит фигуру F , т.е. Q - объемлющая фигура, а фигура Рсодержится в F, т.е. Р - входящая фигура. На теоретико-множественном языке это означает, что
Р ⊂ F ⊂Q следовательно, можно записать, что S(Р)≦ S(F) ≦S(Q).
Если разность площадей объемлющей и входящей фигур может стать как угодно малой, то, как установлено в математике, существует единственное число S(F), удовлетворяющее неравенству S(Р)≦ S(F) ≦S(Q)для любых многоугольных фигур Р и Q. Данное число и считают площадью фигуры F.
Этими теоретическими положениями пользуются, например, когда выводят формулу площади круга. Для этого в круг радиуса r вписывают правильный n-угольник Р, а около окружности описывают правильный n- угольник Q. Если обозначить символами S(Q)и S(Р)площади этих многоугольников, то будем иметь, что S(Р)≦ S(F) ≦S(Q), причем при возрастании числа сторон вписанных и описанных многоугольников площади S(Р) будут увеличиваться, оставаясь при этом меньше площади круга, а площади S(Q) будут уменьшаться, но оставаться больше площади круга.
Площадь правильного n-угольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной в него окружности. При возрастании числа его сторон периметр стремится к длине окружности 2πr, а площадь - к площади круга. Поэтому S = • 2πr • r = πr2.
Для приближенного измерения площадей плоских фигур можно использовать различные приборы, в частности, палетку.
Палетка - это прозрачная пластина, на которой нанесена сеть квадратов. Сторона квадрата принимается за 1, и чем меньше эта сторона, тем точнее можно измерить площадь фигуры.
Накладываем палетку на данную фигуру F. Квадраты, которые целиком лежат внутри фигуры F, образуют многоугольную фигуру F; квадраты, имеющие с фигурой F общие точки и целиком лежащие внутри фигуры F
образуют многоугольную фигуру Q. Площади S(Р) и S(Q) находят простым подсчетом квадратов. За приближенное значение площади фигуры Fпринимается среднее арифметическое найденных площадей: S(F) = (S(Р) +S(Q))/2.
В начальном курсе математики учащиеся измеряют площади фигур с помощью палетки таким образом: подсчитывают число квадратов, которые лежат внутри фигуры F, и число квадратов, через которые проходит контур фигуры; затем второе число делят пополам и прибавляют к первому. Полученную сумму считают площадью фигуры F.
Палетка позволяет измерить площадь фигуры F с определенной точностью. Чтобы получить более точный результат, нужно взять палетку с более мелкими квадратами. Но можно поступить иначе: наложить одну и ту же палетку на фигуру по-разному и найти несколько приближенных значений площади фигуры F. Их среднее арифметическое может быть лучшим приближением к численному значению площади фигуры F.
Упражнения
1. На фигуру F наложили палетку и подсчитали, что внутри фигуры Fсодержится фигура, составленная из 28 единичных квадратов, а фигура Fсодержится внутри фигуры, состоящей из 35 единичных квадратов. Каково приближенное значение площади фигуры F.
2. Начертите круг радиуса 2 см на клетчатой бумаге и найдите его площадь, используя клетчатую бумагу как палетку, состоящую из квадратов со стороной, равной: а) 1 см; б) 0,5 см. Вычислите площадь этого круга по формуле, приняв π = 3,14. Сравните полученные результаты.
Основные выводы
В данном параграфе мы уточнили ряд понятий, известных из школьного курса математики:
- длина отрезка, численной значение длины отрезка (мера длины отрезка);
величина угла; численное значение величины угла (мера величины угла);
площадь фигуры; численное значение площади фигуры (мера площади фигуры);
площадь многоугольника и произвольной плоской фигуры;
равновеликие и равносоставленные фигуры.
Вспомнили косвенные способы вычисления площадей прямоугольника, треугольника, параллелограмма, произвольного многоугольника, рассмотрели теоремы о взаимосвязи равновеликости и равносоставленности многоугольных фигур; обосновали способ измерения площади фигуры при помощи палетки.
Отметили, что длина, площадь, величина угла характеризуются одинаковыми свойствами, но заданы на разных классах фигур: длина – на множестве отрезков, площадь – на множестве многоугольных и криволинейных фигур; величина угла – на множестве углов.
Лекция 59. Геометрические величины: масса, время
План:
1. Понятие положительной скалярной величины и ее измерение.
2. Масса тела и ее измерение.
3. Время и его измерение. Объем тела и его измерение.
4. Другие величины, рассматриваемые в начальном курсе математики. Пропорциональная зависимость между величинами (скорость, время, расстояние; цена, количество, стоимость и др.).
Дата добавления: 2016-05-11; просмотров: 3137;