Необходимый признак сходимости ряда. Гармонический ряд.

Если ряд сходится, то общий элемент стремится к нулю при возрастании его номера.

Доказательство

Имеем . Если ряд сходится, то и . Поскольку

Из доказанного вытекает достаточный признак расходимости ряда.

Если не стремится к нулю, то ряд не может быть сходящимся.

Пример

ряд расходится, так как

Следует помнить, что стремление n-го элемента к нулю не является достаточным для сходимости ряда.

Рассмотрим ряд - гармонический ряд.

, но ряд расходится. Покажем, что . Для доказательства заменим некоторые элементы ряда меньшими числами и убедимся, что даже сумма меньших слагаемых будет стремиться к бесконечности.

Сделаем разбиение ряда на группы

Следующая замена

сумма каждой скобки равна . Поскольку таких скобок можно брать сколько угодно, то сумма стремится к бесконечности.

Таким образом, частичные суммы ряда неограниченно возрастают, следовательно, ряд расходится.

Пример

ряд расходится, так как даже при выполнении необходимого признака при