Свойства числовых функций

Четность, нечетность функций

Определение: Функция называется четной, если она обладает следующими свойствами:

1) область определения этой функции симметрична относительно начала координат, то есть для любого ;

2) для любого значения х, принадлежащего области определения этой функции, выполняется равенство .

Вывод:

1. Если точка принадлежит графику четной функции, то точка так же принадлежит графику этой функции.

2.

Так как любая пара точек и , принадлежащих графику четной функции, симметрична относительно оси ординат, следовательно, график любой четной функции симметричен относительно оси ординат (Рис. 1).

Рис. 1. Рис. 2.

Пример: – четная функция, так как, во-первых, область определения этой функции симметрична относительно начала координат; во-вторых, для любого выполняется равенство .

, (Рис. 2).

Определение: Функция называется нечетной, если она обладает следующими свойствами:

1) область определения этой функции симметрична относительно начала координат, то есть для любого ;

2)

для любого значения х, принадлежащего области определения этой функции, выполняется равенство .

Вывод:

1. Если точка принадлежит графику нечетной функции, то точка так же принадлежит графику этой функции.

2. Так как любая пара точек и , принадлежащих графику нечетной функции, симметрична относительно начала координат, следовательно, график любой нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Пример: – нечетная функция, так как, во-первых, область определения этой функции симметрична относительно начала координат; во-вторых, для любого выполняется равенство .