Коефіцієнт кореляції та його властивості

Означення 17.6. Коефіцієнтом кореляції випадкових величин та називається величина

. (17.7)

Розглянемо властивості коефіцієнта кореляції.

1. Коефіцієнт кореляції за абсолютною величиною не перевищує 1, тобто .

Ця властивість є наслідок властивості 6 кореляційного моменту.

2. Якщо випадкові величини незалежні, то їх коефіцієнт кореляції дорівнює 0.

Дійсно, з незалежності випадкових величин випливає, що вони некорельовані, тобто . Із означення 17.6 маємо, що .

3. Некорельованими можна вважати випадкові величини, для яких .

4. Якщо коефіцієнт кореляції випадкових величин дорівнює за абсолютною величиною 1, то між цими випадковим величинами існує лінійні функціональна залежність.

Доведення. Вище отримали рівність

.

Нехай , тоді . Отже,

.

Рівність нулю математичного сподівання невід’ємної випадкової величини означає, що сама випадкова величина тотожньо дорівнює нулю, тобто

.

Звідси випливає, що, якщо , то , а при маємо , тобто випадкові величини та зв’язані лінійною функціональною залежністю.

Не важко довести й обернене твердження: якщо випадкові величини та зв’язані лінійною функціональною залежністю, то .

У випадку n-вимірного випадкового вектора розглядають коефіцієнти кореляції окремих компонент

, , .

Аналогічно для n-вимірного випадкового вектора складають нормовану кореляційну матрицю

.

Приклад 17.4. Система дискретних випадкових величин задана таблицею розподілу (табл. 17.2).

 

Таблиця 17.2

-1	0,10	0,20	0,15
	0,25	0,10	0,20

Скласти кореляційну та нормовану кореляційну матриці випадкового вектора .

Розв’язання. Побудуємо ряди розподілу кожної компоненти:

 

р	0,35	0,30	0,35		р	0,45	0,55

 

Обчислимо перші та другі моменти випадкових величин:

; ;

.

Отже, кореляційна матриця має вигляд:

.

Обчислимо коефіцієнт кореляції випадкових величин та за формулою . Отже, нормована кореляційна матриця буде такою

.

Приклад 17.5. Скласти кореляційну та нормовану кореляційну матриці випадкового вектору , який рівномірно розподілений в еліпсі: .

Розв’язання. Щільність розподілу рівномірно розподіленого випадкового вектору має вигляд:

 

Внаслідок симетрії відносно початку координат області розподілення D математичні сподівання випадкових величин та дорівнюють нулю, тобто . Обчислимо дисперсії випадкових величин

Кореляційний момент випадкових величин дорівнює

.

Отже, кореляційна матриця та нормована кореляційна матриця мають вигляд

, .