Проф.М.М.Протодьяконовтың теориясы

Проф. М.М.Протодьяконовтің теориясы бойынша ені 2-а жерасты жазық қазбасының төбесінде пішіні парабола тәрізді болып босатылатын күмбез АОВ пайда болады (6-сурет).

6-сурет. Жазық қазбаға түсетін таужыныстары қысымын (тау қысымын) проф.М.М.Протодьяконовтың әдісі бойынша анықтауға арналған сұлба.

Осы күмбез жоғарғы қабатта жатқан таужыныстарының салмағынан туындайтын және осы таужыныстары бағанасының салмағына тең- , тең таралған жүктемені Р, кг/см² (кн/м²) көтеріп алады деп есептейміз. Мұнда: Н-қазбаның орналасу тереңдігі, м: қазбадан жоғары жатқан таужыныстарының көлемдік салмағы., т/м³ (кг/см³).

Бірақ-та, қазбаның жату (орналасу) тереңдігінің шамасы өте үлкен болғандықтан күмбездің биіктігін анықтағанда оны есепке алмауға болады. Күмбездің биіктігін в және қазбаның енінің жартысын деп белгілейік.

Таужыныстарының табиғи тепе-теңдік күмбезі АОВ тек оларды құрайтын үгілмелі өзара байланыссыз таужыныстарының бөлшектері тангенциальдық күштердің әсерінен бір-біріне қысылған және ығыстырушы күштер туындамаған кездерге ғана тепе-теңдік жағдайда болады әрі осы қалпын сақтап қала алады.

Күмбездің сол жақ А тірек нүктесіне түскен жүктеменің тең әсер етушісі R екі құраушыдан тұрады: тік жазықтықта Р және жазықтыққа параллель Т. Күмбездің ішіндегі таужыныстарының тепе-теңдік жағдайда болуы үшін, А нүктесіндегі үгілмелі таужыныстары опырылып құламауы үшін, мына шарттар орындалуы қажет:

немесе: (а)

мұнда: К - күмбездің тұрақтылығын қамтамасыз етуші қор коэффициенті

(коэффициент запаса).

- таужыныстарының ішкі үйкеліс бұрышы, оның мәні tq .

Тұрақтылық қоры коэффициентінің шамасын жазықтық бойымен түсетін ысырушы күштердің күмбездің тік жазықтықтағы проекциясының в бірлігіне түсетін мөлшері.

Сондықтанда:

Күмбездің парабола тәрізді бағыттаушы сызығының А нүктесіндегі теңдеуін мына түрде жазуға болады:

(б)

Осы теңдеуге (б) нің мәнін (а) теңдеуінен алып оны ке арнап шешшек; онда:

Тұрақтылық қорының ығыстырушы күштер түрінде алынған шамасы максимальды болады деген шартты орындай отырып, яғни опырылу күмбезінің тепе-теңдік жағдайы мейлінше тұрақты болады деп есептей отырып, күмбездің биіктігін анықтаймыз:

Ол үшін максимальды шамасын ( ) теңдеуінен табамыз.

нің бойынша бірінші туындысы (первая производная) мынадай түрде болады:

Бірінші туындыны нольге тең ете отырып және теңдеуді ға сәйкес шешшек, онда:

Осы шешімдерден күмбездің биіктігі:

(1)

Үгілмелі емес тұрақты бекем таужыныстары үшін күмбез биіктігін табу үшін ішкі үйкеліс бұрышының мәнін таужыныстарының бекемдік коэффициен-тіне ( ) ауыстыруға болады.

Қазба бекітпесіне түсетін тау қысымының шамасы, осы табиғи тепе-теңдік күмбезінің ішіндегі таужыныстарының салмағына тең деп ала отырып, оның шамасын мына шарттан табуға болады: АОВ параболасының ауданы осыған сәйкес төрт бұрыштың үштен екісін тең, яғни:

(а)

Осыған сүйене отырып парабола пішінді күмбездің қазбаның 1 қума метріне келетін көлемі:

(б)

Осы күмбездің көлемін таужыныстарының көлемдік салмағына көбейту арқылы бектіпеге түсетін тау қысымын анықтаймыз:

(2)

Осы теңдеуге (2) күмбездің биіктігінің (1) теңдеуден алып қойсақ, онда қазба бекітпесіне түсетін тау қысымының шамасын мынадай түрде жазуға болады:

т/қ.м. (3)

Яғни, қазба бекітпесіне түсетін тау қысымының Р шамасы қазба төбесіндегі таужыныстарының көлемдік салмағының 1,33 бөлшегіне және қазбаның еніңің жартысының қвадратына тура пропорциональды, ал таужыныстарының бекемдік коэффицентіне кері пропорциональды болады.

Мысалы: жерасты жазық қазбасының төбе жағынан түсетін тау қысымын және тепе-теңдік күмбезінін биіктігін анықтау керек. Қазбаның ені 2а = 4м, қазба көлемдік салмағы 2,5 т/м3 және бекемдік коэффициент 4 таужыныстары сілемін кесіп өткен.

Проф.М.М.Протодьяконовтің формуласы бойынша қазбаның 1 қума (погонный) метріне түсетін тау қысымының мөлшері:

т.

Күмбездің биіктігі:

м.