ПРОИЗВОДНАЯ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ

Пусть дана возрастающая или убывающая функция , т. е. между переменными и устанавливается взаимно однозначное соответствие. Рассматривая эти значения как значения аргумента, а как значения функции, получим как функцию от :

Эта функция называется обратной для функции . Очевидно, что и функция является обратной для функции .

Теорема. Если для функции существует обратная функция , которая рассмаириваемой точке имеет производную , отличную от нуля, то в соответствующей точке функция имеет производную равную т.е. справедлива формула

. (*)

Доказательство. Дифференцируя обу части равенства по , считая функцией от Откуда . Учитывая, что , получаем формулу (*), которую можно записать в виде

(**)

Легко выяснить ее геометрический смысл. Мы знаем что, производная есть тангенс угла , образованного касательной к графику функции

с осью . Но обратная функция имеет тот же график, лишь независимая переменная для нее откладывается по оси . Поэтому производная равна тангенсу угла , составленной той же касательной с осью . Таким образом выведенная формула сводится к известному соотношению , связывающему тангенсы двух углов и , сумма которых равна .

Обратные тригонометрические функции

Рассмотрим функцию , причём . Она является обратной для функции , имеющей положительную производную . В таком случае существует также производная и равна по нашей формуле