ПРОСТЕЙШИЕ ПРАВИЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ

ПРОИЗВОДНЫХ

Постоянный множитель можно вынести за знак производной где

Докозательство: Дадим независимой переменной приращение , тогда функция получит приращение равное

.

Разделим обе части равенства на и перейдем к пределу при .

т.е. .

Пример.

Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций.

Доказательство. Дадим переменной приращение . Для значения аргумента имеем , где - приращения функций соответствующие приращению . Отсюда .

Разделим на . Следовательно,

Или окончательно

Пример. ,

.

производная двух дифференцируемых функций равна произведению производной первой функции на вторую плюс произведение первой функции на производную второй функции, т.е.

где и

Доказательство. Приращение аргумента соответствуют приращения , и . При этом

и

,

,

Так как при и , то , т.е. существует производная и равна

Если , при чём и существуют, то

Примеры: а)

б)

. Производная дроби (частного от деления двух функций) равна дроби, числитель которой равен разности производной между произведением знаменателя на производную числителя и произведением числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат знаменателя данной дроби.

Поизводная дроби (частного от деления двух функций) равна производной числителя, умноженной на знаменатель, минус числитель, умноженный на производную знаменателя, и деленное все на квадрат знаменателя, т.е.

если то

Доказательство. Если суть приращения функций соответствующие приращению аргумента , то ,

,

.

Устремляя к нулю (причем одновремеено и ), получим,

Примеры: а)

б)