ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Пусть задана сложная функция , т.е. такая, что её можно представить в следующем виде: или . В выражении переменную и называют промежуточным аргументом. Правило дифференцирования сложной функции сложной функции можно сформулировать в виде теоремы:

Пусть имеет в некоторой точке производную , а qфункция имеет в соответствующей точке производную . Тогда сложная функция в точке также будет иметь производную, равную произведению производных функций и : , или короче .

Доказательство. Дадим переменной произвольное приращение , которому соответствует приращение , а приращение соответствует приращение . Причём при будет и .

По условию теоремы , а поэтому, пользуясь определение предела, можем записать (при ): , или короче .

Доказательство. Дадим переменной x произвольное приращение , которому соответствует приращение , а приращение соответствует приращению . Причем при будет и .

По условию теоремы , а поэтому, пользуясь определением предела, можем записать (при ):

, (1)

где при .

Перепишем равенство (1) в виде

(2)

Это равенство справедливо и при при произвольном . Разделив его почленно на , получим

.

При к нулю будет стремится и , а также зависящие от величина . Следовательно, существует предел

, который и представляет собою искомую производную .

Примеры. 1) Пусть , иначе говоря, , где . По правилу дифференцирования сложной функции будем иметь при . Таким образом .

2) , т.е. , где ;

.

3) т.е. , где

.

4)

5) .

6) ; в этом случае