Исчисление высказываний L
Алфавитом называется произвольное множество. Его элементы называются символами. Произвольная конечная последовательность символов называется словом. Слово может быть пустым.
Исчисление высказываний L определяется следующим образом:
Его алфавит состоит из символов 
, называемых логическими,и из символов, принадлежащих произвольному множеству Р, называемых нелогическими символами или буквами.
Синтаксис исчисления L определяется с помощью наименьшего подмножества S множества слов, такого, что
1) Р 
S;
2) Если A 
S и B S , то 
A S и (A 
B) S.
Элементы множества S называются (пропозициональными) формулами. Таким образом, формулами называются слова, определяемые по индукции с помощью правил 1 – 2 из логических и нелогических символов.
Аксиомами исчисления L называются формулы:
(A1) A (B A),
(A2) (A (B C)) ((A B) (A C)),
(A3) ( B A) (( B A) B).
Здесь A, B, C – произвольные формулы. Поэтому в действительности мы имеем бесконечное множество аксиом, в каждой из групп A1, A2 и A3.
Правилом выводаModus Ponens называется множество троек формул (A,A B,B), которое позволяет паре формул (A,A B) поставить в соответствие формулу B, называющуюся непосредственным следствием этих формул. Правило вывода Modus Ponens обозначается через MP и записывается, как
MP
Формула A называется выводимой в исчислении L из формул X1, X2, …, Xk, если существует последовательность формул: A1, A2, A3, …, An, такая, что для каждого 
формула Ai является либо аксиомой исчисления L, либо элементом множества {X1, …, Xk} , либо непосредственным следствием формул Ap и Aq, при некоторых
1 
p, q i-1. В этом случае последовательность: A1, A2, A3, …, An называется выводом формулы A. Для обозначения выводимости формулы A в исчислении L из формул X1, …, Xk применяется запись:
X1, X2, …, Xk 
L A .
Если для вывода формулы A достаточно аксиом, то А называется теоремой теории L, а выводимость из пустого множества формул записывается, как
L А .
Лемма. Имеет место теорема L А А.
Доказательство. Построим вывод формулы А А из аксиом (А1) – (А3) следующим образом:
А1 будет аксиомой (А2) для формул А, B = (А А), С = А;
А2 будет аксиомой (А1) для формул А, В = (А А);
получим:
А1=(А ((А А) А)) ((А (А А)) (А А)),
А2=А ((А А) А).
Применяя правило вывода 
MP , будем иметь непосредственное следствие формул A2 и A1:
А3=(А (А А)) (А А).
Следующая формула получается из аксиомы (А1) подстановкой В = А:
А4=А (А А).
Применяя правило вывода 
MP, получим:
А5 = А А.
Последовательность формул: A1, A2, A3, А4, А5 = (А А) является искомым выводом формулы А А.
Теорема о дедукции
Пусть Г – множество формул. Запись Г L А означает, что существует конечная последовательность формул Xi Г, , такая, что X1, X2, …,Xn L A. Вместо Г 
{X} L А будем писать Г, X L А. Легко видеть, что из Г L (А В) следует существование вывода Г, А L В. Верно и обратное утверждение:
Теорема (о дедукции). Пусть Г – множество формул исчисления L; А и В – формулы, и пусть
Г, А L В.
Тогда Г L (А В). В частности, при пустом Г, из выводимости А L В вытекает теорема: L А В.
Доказательство. Пусть В1, В2, …, Вn = В – вывод формулы из формул, принадлежащих множеству Г {A}. Докажем с помощью индукции по i, что Г L (А Вi), а затем применим это к i = n, чтобы получить Г L (А В). При i = 1 имеем В1 Г, либо В1 = А, либо В1 – аксиома. Если В1 Г, либо В1 – аксиома, тогда получаем с помощью аксиомы (А1) формулу В1 (А В1). Применение MP к В1 и В1 (A В1) дает вывод для А В1 из Г. Если же В1 = А, то имеем: L (А В1) по доказанной лемме о том, что верна теорема L А А.
Докажем теперь: Г L (А Вi) при i > 1, предполагая, что выводимость
Г L (А Вк) уже доказана для всех k < i.
Для Вi имеем 4 возможности: Вi Г; Вi – аксиома; Вi = А; Вi непосредственно следует из Вj и Вm, при некоторых j, m i-1. В первых трёх случаях Г L А Вi доказывается так же, как при i = 1. В четвёртом случае формула Вm равна формуле (Вj Вi), и согласно предположению индукции имеем:
Г L (А Вj) и Г L (А (Вj Вi)),
ибо (Вj Вi)=Вm. По аксиоме (А2) верно
L (А (Вj Вi)) ((А Вj) (А Вi)).
Применение
MP
приводит к выводу Г L (А Вj) (А Вi). Из этого вывода и вывода Г
L (А Вj) с помощью Modus Ponens получаем:
Г L (А Вi).
Таким образом, Г L (А Вi), для всех i = 1,…,n. В частности, при i = n, получаем:
Г L (А В),
что и требовалось доказать.
Дата добавления: 2016-09-20; просмотров: 1313;