Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Частные производные функции
Частные производные функции 
по аргументам x, y и
Z соответственно определяются как соответствующие пределы ( если они существуют):
(6.4.1)
(6.4.2)
. (6.4.3)
При фиксированных значениях всех аргументов, кроме, например,
Х, функция 
становится функцией одной переменной. Производная этой функции по переменной х и есть частная производная по аргументу х. Поэтому вычисления частных производных производится по тем же правилам, что и вычисление производной функции одной переменной.
Дифференциал функции
Пусть функция дифференцируема в точке 
т.е полное приращение в этой точке можно представить в следующем виде:
Дифференциал этой функции вычисляется по формуле
. (6.4.4)
Обозначим через 
.
Координаты некоторой точки М1= 
, тогда следует
.
Алгоритм использования дифференциала в приближенных вычислениях
Пусть требуется найти приближенное значение величины А, тогда необходимо выполнить следующие действия:
1. Представить А в виде значения некоторой функции в точке М1:
2. Подобрать точку М0 так, чтобы она была достаточно близкой к точке M1 и значение 
вычислялось легко, и вычислить 
3. Найти 
4. Вычислить 
согласно формуле.
Частные производные и дифференциалы высших порядков
Частными производными второго порядка от функции 
называются частные производные от ее частных производных первого порядка.
Рассмотрим функцию двух переменных 
, которая имеет частные производные 
во всех точках области определения D. Частные производные второго порядка в этом случае записываются следующим образом:
. (6.4.5)
.(6.4.6)
Аналогично определяются и записываются частные производные третьего порядка, например:
(6.4.7)
и высших порядков:
(6.4.8)
Дифференциалом второго порядка от функции 
называется дифференциал от ее полного дифференциала, т.е
. Аналогично определяются дифференциалы третьего и высших порядков:
или 
. (6.4.9)
Производные по направлению. Градиент
Пусть функция 
определена в некоторой окрестности точки М0; 
-некоторый луч М0М, 
длина отрезка М0М,
-единичный вектор, имеющий направление луча . Предел
, если он существует, называется производной функции по напрвлению 
точке М0 и обозначается 
В декартовой прямоугольной системе координат 
,
где 
.
Градиентом функции 
в точке M0 называется вектор, характеризующий направление наибольшего роста функции в этой точке и обозначается 
. (6.4.10)
Производная функции 
в точке М0 в направлении вектора 
и градиент связаны соотношением
. (6.4.11)
Пример 6.4.1. Найти дифференциал функции 
в точке
Решение:
Данная функция является сложной 
где 
,
поэтому 
.
Найдем 
.
Имеем 
, 
;
;
.
Пример 6.4.2. Найти приближенное значение величины 
Решение:
Положим 
Выберем
тогда 
= 
.
Найдем:
;
По формуле находим
.
Пример 6.4.3. Найти градиент функции 
в точке 
.
Чему равна в этой точке производная функции u в направлении вектора 
?
Решение:
= 
;
.
Дата добавления: 2016-10-17; просмотров: 802;