Поверхности II порядка. Канонические уравнения

		Название поверхности	Каноническое уравнение
	эллипсоид	(рис.1)
	гиперболоиды	однополостный гиперболоид	(рис.2)
	двуполостный гиперболоид	(рис.4)
	конус	(рис.5)
	пароболоиды	эллиптический параболоид	(рис.3)
	гиперболический параболоид	(рис.6)
	цилиндры	эллиптический цилиндр
	гиперболический цилиндр
	параболический цилиндр
		пара плоскостей	левая часть уравнения распадается на произведение двух линейных множителей

Рисунок 6.2.1.

Рисунок 6.2.3.

Рисунок 6.2.4.

Рисунок 6.2.6.

Рисунок 6.2.5.

Введение в математический анализ

Пределы функций

При вычислении предела элементарной функции f(x) приходится сталкиваться с двумя существенно различными типами примеров.

1 Функция f(x) определена в предельной точке x=a. Тогда

. (6.3.1)

2 Функция f(x) в предельной точке х=а не определена или же вычисляется предел функции при . Тогда вычисление предела требует в каждом случае индивидуального подхода. В одних случаях (наиболее простых) вопрос сводится непосредственно к применению теорем о свойствах бесконечно больших и бесконечно малых функций и связи между ними. Более сложными случаями нахождения предела являются такие, когда функция f(x) в точке х=а или при представляет собой неопределенность

.

Приведем основные теоремы, на которых основано вычисление пределов.

1 Если существуют и , то

а) ;

б) ;

Частные случаи:

в) .

2 Если в некоторой окрестности точки х=а (кроме, быть может, точки а) выполнено условие f(x)=q(x) и если предел одной из этих функций в точке а существует, то

.

3 Если существует U(х) и f(х) – элементарная функция, то

.

Например : ,

.

4 Первый замечательный предел: . (6.3.2)

5 Второй замечательный предел: . (6.3.3)

Также при вычислении пределов следует знать ряд эквивалентных бесконечно малых функций:

при

Примеры 6.3.1.

Вычислите пределы:

1) .

Функция f(x) в предельной точке х=2 не определена; так как числитель и знаменатель дроби обращается в нуль, то имеем неопределенность вида 0/0.

Преобразуем дробь, и по формуле (1) получим

.

2) .

В этом случае также получается неопределенность вида 0/0. Преобразование функции сводится к уничтожению иррациональности в числителе: для этого умножим числитель и знаменатель на выражение и затем сократим дробь на . Отсюда

.

3) .

Здесь имеет место неопределенность вида . Разделим числитель и знаменатель на (наивысшую степень х в данной дроби). Тогда

.

4) .

Здесь получается неопределенность вида . Представим функцию в виде дроби, которая в точке х=0 дает неопределенность вида 0/0, после чего преобразуем её так, чтобы можно было воспользоваться первым замечательным пределом:

5)

Функция при x-> представляет собой степень, основание которой стремится к единице, а показатель – к бесконечности, неопределенность вида .

Преобразуем функцию таким образом, чтобы использовать второй замечательный предел:

= = = = = =

= = =

6) .

Используя второй замечательный предел, находим

= = =