Первообразная функция.

Определение 1.Функция , определённая в промежутке ,называется первообразной данной функции в этом промежутке , если для любого значения выполняется равенство:

.

Пример 6.6.2.

1)функция - первообразная функции

в интервале , поскольку для всех Х;

2)функция - первообразная функции в интервале т.к.

3) функция - первообразная функции , ибо .

Возникает вопрос, всякая ли функция f(x) имеет на данном промежутке первообразную.

Очевидно, далеко не всякая.

В дальнейшем (в разделе “Определённый интеграл”) нами будет доказана следующая теорема:

Теорема. Любая, непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке первообразную.

Далее возникает следующий вопрос:

Если некоторая функция имеет первообразную, то единственна ли эта первообразная?

Ответ и здесь будет отрицательным.

Так, для функциии первообразной будет не только функция , но и

, , и вообще всякая функция вида , где С – произвольная постоянная.

Функции такого вида исчерпывают все первообразные данной функции .

Справедлива следующая теорема, которая подтвердит последнее утверждение для любых функций.

Теорема. Если F(x) первообразная функции на , f(х) , то , где С производная постоянная, так же является её первообразной.

Определение 2. неопределённым интегралом от данной функции называется множество всех её первообразных: , где

Знак - называется знаком неопределённого интеграла; функция - подынтегральной функцией; выражение - подынтегральным выражением; - переменное интегрирование.

Операция нахождения первообразной данной функции называется интегрирование.

Таким образом, чтобы найти неопределенный интеграл от данной функции , достаточно найти какую - либо её первообразную и составить сумму ,где С – производная постоянная.

Пример6.6.3. ; .