Непосредственное интегрирование

Метод непосредственного интегрирования является одним из простейших методов интегрирования.

Он опирается на:

1) таблицу интегралов;

2) основные свойства неопределенных интегралов.

Рассмотрим несколько примеров на применение метода непосредственного интегрирования:

Пример 6.6.8.Найти неопределенный интеграл

I = (использовать свойства 4 и 3; формулы 2,4а,6таблицы простейших интегралов.) = =

Проверка:

Пример 6.6.9.

.

Пример 6.6.10. .

Пример 6.6.11.

Прибавим и вычтем в числителе

В некоторых случаях сложное на первый взгляд выражение, стоящее под знаком интеграла, удается преобразовать и свести к простейшим формулам интегрирования:

Пример 6.6.12. .

Замечание. В таблице основных интегралов предполагалось, что х является независимой переменной.

Однако формулы этой таблицы остаются справедливыми и в случае, когда ; где - любая дифференцируемая функция новой переменной t.

Доказано, пусть (*) , ,и пусть дифференцируемая функция х.

В силу инвариантности формы первого дифференциала

, откуда (**)

Итак, из справедливости формулы (*) следует справедливость формулы (**), которая получается из первой формулы формальной заменой х на U.

На основании этого свойства получаем обобщенную таблицу простейших интегралов.

,

и т. д., где u – любая дифференцируемая функция х.

Примеры 6.6.12.

1) ;

2) ;

3) ;