Властивості диференціала.

Якщо і – диференційовані функції, то:

1. , де .

2. .

3. .

4. .

5. Якщо , де , то . Тобто диференціал складної функції має такий вигляд, якого б він отримав при незалежному проміжному аргументу u.

Доведення Вл. 4. З означення диференціала маємо

так як і .

Доведення Вл. 5. Дійсно, з означення диференціала

так як .

Приклад 9.2. Знайти диференціал функції .

Розв’язування. Запишемо дану функцію у вигляді , де . Тоді

або ,

тобто .

9.2.Застосування диференціала для наближених

Обчислень.

З рівності (9.1) і означення диференціала маємо , тому приріст функції з точністю до числа можна замінити диференціалом , тобто . Причому остання рівність буде тим точнішою, чим менше . Перепишемо її у вигляді

або

. (9.2)

Покаже на прикладі, як за допомогою формули (9.2) можна проводити наближені обчислення.

Приклад 9.3. Обчислити .

Розв’язування. Запишемо рівність (9.2) у вигляді

В нашому прикладі , . Знайдемо :

;

Таким чином,

9.3. Похідні вищих порядків.

Розглянемо диференційовану на деякому інтервалі функцію . Похідна , взагалі кажучи, залежить від змінної х, тобто є новою функцією аргументу х, для якої можна ставити питання про обчислення похідної.

Означення 9.2. Похідна від першої похідної називається похідною другого порядку або другою похідною від початкової функції і позначається або .

Згідно з означенням .

В свою чергу друга похідна також є функцією аргументу х і її можна диференціювати.

Похідна від другої похідної називається похідною третього порядку або третьою похідною і позначається або .

Аналогічно вводиться похідна будь-якого порядку: похідна від похідної -го порядку називається похідною n-го порядку або n-ю похідною і позначається або . Таким чином

Похідні позначаються римськими цифрами або взятими в дужки арабськими, щоб розрізняти з показником степеня.

Приклад 9.4. Знайти похідну четвертого порядку для функції

Розв’язування.

9.4.Диференціали вищих порядків.

Нехай функція диференційована на деякому інтервалі . Її диференціал є деякою функцією аргументу х. Але від х залежить тільки множник , а диференціал є приростом аргументу і від значення х не залежить. Таким чином, можна ставити питання про обчислення диференціала від функції .

Означення 9.3. Диференціал від диференціала функції називається другим диференціалом або диференціалом другого порядку цієї функції і позначається або .

З означення диференціала випливає, що:

Величина не залежить від х і ми винесли її за знак похідної. Замість прийнято писати , розуміючи під цим не , а .

Диференціал від другого диференціала називається третімдиференціалом або диференціаломтретьогопорядку і позначається або . Аналогічно другому диференціалу отримаємо