Теорія похибок і статистична обробка результатів вимірювань

При проведенні експериментальних досліджень вимірювання повторюють кілька (n) разів – отримують паралельні значення вимірюваного параметру: x₁. x₂ …x_n; (n – число паралельних вимірювань). Ці значення близькі, але не співпадають, вони відрізняються один від одного. Різницю між виміряним значенням x_i і дійсним x_real називають абсолютною похибкою вимірювання або «абсолютним відхиленням»:

Δx_i = |x_i- x_real.| (1)

Оскільки відхилення x_i від x_real може бути зі знаком «+» або «-» абсолютну похибку обчислюють за модулем (абсолютним значенням). Кожний паралельний дослід має свою характерну абсолютну похибку. Щоб знайти відносну похибку, треба абсолютну розділити на значення вимірюваної величини:

Δx_відн.= Δx/ x_real ≈ Δx / x_i. (2)

Похибки бувають випадкові і систематичні.

Випадкова похибка – це складова похибки вимірювання, що змінюєть­ся випадковим чином при повторних вимірюваннях однієї і тієї ж величини.

Випадкові похибки зобов’язані своїм походженням ряду причин, дія яких неоднакова в кожному досліді і не може бути врахована. Вони мають різні значення навіть для вимірювань, виконаних однаковою.

Систематична похибка – це складова похибки вимірювання, що залишається постійною або закономірно змінюється при повторних вимірюваннях однієї і тієї ж величини.

Сукупність виміряних значень одного і того ж параметру – це вибірка аборяд. Якщо виміряні значення розташовані за рангом (зростаючий ряд x₁<x_2<…<x_n . або спадаючий x₁>x_2>…>x_n)_. такий ряд називають ранжированим рядом.

різницю між найбільшим і найменшим значеннями результатів спостережень називають розмахом варіювання(w = x_max - x_min).У зростаючому ранжиро­ва­ному ряді
це – w = x_n - x₁.

Статистичну обробку результатів вимірювань починають із перевірки відповідності даних вибірки функціональної залежності нормального розподілу даних.

У деяких випадках виявляється, що результат одного вимі­ру різко відрізняється від результатів інших вимірів, вико­наних при тих же контрольованих умовах. У цьому випад­ку говорять про грубу похибку (промах у вимірюванні).

Для виявлення грубих промахів у вибірці відомо кілька різних статистичних критеріїв. Найпростіший серед них Q-критерій. Для перевірки крайніх значень у ранжированому ряді розраховують значення Q_{експеримент} (3) і порівнюють з табличним значенням Q_табл (n, P) (див. табл.1), де n – число паралельних вимірювань у вибірці, Р – довірча ймовірність. В аналітичній хімії прийнято використовувати довірчу ймовірність Р = 0,95. У біології, медицині частіше використовують довірчу ймовірність Р = 0,99.

;

.(3)

Якщо у вибірку попадає значення з великою похибкою X₁ або X_n – то це виміряне значення видаляють з вибірки і при статистічній обробі не враховують.

дійсним значенням вимірюваної величини, якщо воно невідоме до вимірювань, вважають середнє арифметичне з паралельних значень вимірювань

.(4)

Таблиця 1