Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной

Вероятности в независимых испытаниях.

Обозначим через вероятность того, что относительная частота “успехов” в n испытаниях Бернулли отклонится от вероятности “успеха” p не более , чем на >0. Имеем

P(½ - p ½ ) = .

Если n достаточно велико, то величина имеет стандартное нормальное распределение N(0,1). Воспользуемся формулой Муавра – Лапласа

P( ) » F( ) – F( ) и запишем

=P( – n n ) = P( – ) »

F( ) – F(- )= 2F( ).

Это равенство содержит четыре параметра: n, p, , . Зная три из них, можно найти четвертый. Пусть, например, известны p, и . Определим n, воспользовавшись выведенной формулой F( ) = , где = – квантиль нормального распределения, отвечающая уровню вероятности . Так как F( ) монотонно возрастающая функция, то , откуда

n pq . Если p неизвестно, то воспользуемся тем, что pq . Тогда

n .

Пример. Для определения доли избирателей, поддерживающих кандидата A, производится выборочное обследование. Определить объем выборки, при которой с вероятностью, не меньшей 0,99, погрешность составит менее 0,05.

Решение. По условию задачи = 0,99 , = 0,05. Вероятность p неизвестна. Воспользуемся формулой n = 665,64 » 666.