Основні етапи математичного моделювання

Враховуючи вище сказане, математичне моделювання, у широкому значенні цього терміну, можна трактувати як процес побудови та дослідження математичної моделі з метою фіксації та вивчення певних властивостей та відношень оригіналу, а також перенесення отриманих результатів на оригінал за допомогою математичних методів. У літературі досить часто термін “математичне моделювання” використовується також і у вузькому значенні. У цьому випадку під математичним моделюванням розуміють лише або метод побудови моделі, або метод її дослідження.

В загальному випадку в процесі підготовки та проведення математичного моделювання виділяють такі етапи:

1. абстрагування: зосередження на властивостях, які є загальними для багатьох об’єктів та явищ матеріального світу та нехтування відмінностями існуючими між ними;

2. формулювання: вибір деякої множини засобів (символів, графічних образів тощо) для зображення абстрактних понять;

3. маніпуляція: правила перетворення символьного представлення як засіб передбачення результату аналогічних маніпуляцій в реальному світі;

4. аналіз: реальна інтерпритація отриманих математичних результатів з метою їх імплементації;

5. аксіоматизація: строге формулювання тих властивостей, які були виведені з реального світу і які є загальними при маніпуляціях як в матеріальному світі, так і над абстрактними символами, що представляють реальний світ.

Перший та частково другий етапи відносяться до процесу формалізації задачі, другий та третій – власне до процесу моделювання задачі, тобто до формування моделей, їх перетворення та аналізу, п’ятий – до обґрунтування методів моделювання і підготовки основи для їх подальшого розвитку. На останніх етапах робиться спроба сконцентрувати основні фактичні відомості про об’єкти, які охоплюються цими абстрактними поняттями, в декількох коротких, але потужних аксіомах і потім строго довести, що висновки, отримані в результаті маніпуляцій з цими абстрактними представленнями є справедливими і для прообразів реального світу. Ці етапи тісно взаємопов’язані між собою, і тому їх виділення є до певної мірі відносним. Так, математична модель зазвичай будується з орієнтацією на певний метод дослідження цієї моделі. З іншого боку, в процесі проведення математичного дослідження або інтерпретації розв’язку може виникнути потреба уточнити або навіть суттєво змінити математичну модель.

Процесу математичного моделювання дуже часто передує етап формалізації задачі, під яким розуміють процес переходу від опису об’єкта в термінах його конкретних властивостей до опису в термінах абстрактних змінних стану та незалежних змінних при визначеній меті дослідження і переліку обмежень. Можна виділити такі етапи процесу формалізації задачі:

1. вибір характеристик стану об’єкта, які будуть досліджуватися;

2. кожній характеристиці стану ставиться у відповідність абстрактний об’єкт, який називається змінною;

3. визначення всієї множини значень змінних;

4. введення припущень та гіпотез на основі яких визначається кількість незалежних змінних у ролі яких виступають просторові координати та/або час;

5. визначення відношень, обмежень та зв’язків між змінними.

Кінцевою метою процесу формалізації задачі є підготовка умов для формального запису математичної моделі, а сам запис моделі, який полягає у використанні засобів математичної мови для позначення виявлених на останньому етапі відношень, обмежень та зв’язків, відноситься вже до першого етапу математичного моделювання. Звичайно, часто ці два процеси - формалізація та моделювання можуть тісно переплітатися.