ГЛАВА 3. МОДЕЛЬ МНОЖЕСТВЕННОЙ

ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ

Основные понятия и уравнения множественной регрессии

На любой экономический показатель чаще всего оказывает влияние не один, а несколько совокупно действующих факторов. Например, объем реализации (Y) для предприятий оптовой торговли может определяться уровнем цен (Х₁), числом видов товаров (Х₂), размером торговой площади (Х₃) и товарных запасов (Х₄). В целом объем спроса на какой-либо товар определяется не только его ценой (Х₁), но и ценой на конкурирующие товары (Х₂), располагаемым доходом потребителей (Х₃), а также некоторыми другими факторами. В этих случаях возникает необходимость рассмотрения моделей множественной регрессии.

Естественным обобщением парной (однофакторной) линейной регрессионной модели является модель множественной линейной регрессии, теоретическое уравнение которой имеет вид:

(3.1)

где Х₁, Х₂,…, Х_m – набор независимых переменных (факторов-аргументов); b₀, b₁, …, b_m – набор (m + 1) параметров модели, подлежащих определению; ε – случайное отклонение (ошибка); Y – зависимая (объясняемая) переменная.

Для индивидуального i-го наблюдения (i = 1, 2, …, n) имеем:

(3.2)

или

. (3.3)

Здесь b_j называется j-м теоретическим коэффициентом регрессии (частичным коэффициентом регрессии).

Аналогично случаю парной регрессии, истинные значения параметров (коэффициентов) b_j по выборочным данным получить невозможно. Поэтому для определения статистической взаимосвязи переменных Y и Х₁, Х₂, …, Х_m оценивается эмпирическое уравнение множественной регрессионной модели

(3.4)

в котором , – оценки соответствующих теоретических коэффициентов регрессии; е – оценка случайного отклонения ε.

Оцененное уравнение (3.4) в первую очередь должно описывать общий тренд (направление, тенденцию) изменения зависимой переменной Y. При этом необходимо иметь возможность рассчитать отклонения от этого тренда.

Для решения задачи определения оценок параметров множественной линейной регрессии по выборке объема n необходимо выполнение неравенства n ³ m + 1 (m – число регрессоров). В данном случае число v = n - m - 1 будет называться числом степеней свободы. Отсюда для парной регрессии имеем v = n - 2. Нетрудно заметить, что если число степеней свободы невелико, то и статистическая надежность оцениваемой формулы невысока. На практике принято считать, что достаточная надежность обеспечивается в том случае, когда число наблюдений по крайней мере в три раза превосходит число оцениваемых параметров k = m + 1.

Самым распространенным методом оценки параметров уравнения множественной линейной регрессионной модели является метод наименьших квадратов (МНК). Напомним (см. раздел 2.4.1), что надежность оценок и статистических выводов, полученных с использованием МНК, обеспечивается при выполнении предпосылок Гаусса-Маркова. В случае множественной линейной регрессии к предпосылкам 1–4 необходимо добавить еще одну (пятую) – отсутствие мультиколлинеарности, что означает отсутствие линейной зависимости между объясняющими переменными в функциональной или статистической форме. Более подробно мультиколлинеарность объясняющих переменных будет рассмотрена в разделе (3.4). Модель, удовлетворяющая предпосылкам МНК, называется классической нормальной моделью множественной регрессии.

На практике часто бывает необходимо оценить силу влияния на зависимую переменную различных объясняющих (факторных) переменных. В этом случае используют стандартизованные коэффициенты регрессии и средние коэффициенты эластичности .

Стандартизированный коэффициент регрессии определяется по формуле:

(3.5)

где S(x_j) и S(y) – выборочные средние квадратичные отклонения (стандарты) соответствующей объясняющей и зависимой переменных.

Средний коэффициент эластичности

(3.6)

показывает, на сколько процентов (от средней) изменится в среднем зависимая переменная Y при увеличении только j-й объясняющей переменной на 1 %.

Для модели с двумя объясняющими (факторными) переменными , после нахождения оценок , уравнение определяет плоскость в трехмерном пространстве. В общем случае m независимых переменных геометрической интерпретацией модели является гиперплоскость в гиперпространстве.