Линейные разностные уравнения

Системы, у которых входная и выходная последовательности x(n) и y(n) связаны линейным разностным уравнением (сокращенно ЛРУ) с постоянными коэффициентами, образуют подмножество класса линейных систем с постоянными параметрами. Описание ЛПП-систем разностными уравнениями очень важно, так как оно часто позволяет найти эффективные способы построения таких систем. Более того по разностному уравнению можно определить многие характеристики рассматриваемой системы, включая собственные частоты и их кратность, порядок системы, частоты, соответствующие нулевому коэффициенту передачи, и т. д.

В самом общем случае линейное разностное уравнение N-го порядка с постоянными коэффициентами, описывающее физически реализуемую систему, имеет вид

, (1.6)

где коэффициенты и называются передаточными коэффициентами и полностью описывают конкретную линейную систему, a_n ¹ 0 и обычно a₀ = 1.

Z-преобразование этого уравнения, выраженное относительно передаточной функции системы

H(z) = Y(z)/X(z), (1.7)

представляет собой рациональную функцию в виде отношения двух полиномов от z. Корни полинома в числителе называются нулями, а в знаменателе - полюсами функции H(z). Значения нулей и полюсов позволяют определить свойства линейной системы. Так, если все полюсы X(z) по модулю больше единицы, то система является устойчивой (не пойдет “вразнос” ни при каких входных воздействиях). Нули функции Y(z) обращают в ноль H(z) и показывают, какие колебания вовсе не будут восприниматься системой (“антирезонанс”). Систему называют минимально-фазовой, если все полюсы и нули передаточной функции лежат вне единичной окружности |z|=1 на комплексной z-плоскости. Попутно заметим, что применение z-преобразования с отрицательными степенями z^-1 меняет положение полюсов и нулей относительно единичной окружности |z|=1 (область вне окружности перемещается внутрь окружности, и наоборот).

Природа сигналов. По своей природе сигналы могут быть случайными или детерминированными.

К детерминированным относят сигналы, значения которых в любой момент времени или в произвольной точке пространства являются априорно известными или могут быть определены (вычислены) по известной или предполагаемой функции.

Случайныесигналы непредсказуемы по своим значениям во времени или в пространстве. Для каждого конкретного отсчета случайного сигнала можно знать только вероятность того, что он примет какое-либо значение в определенной области возможных значений. Закон распределения случайных значений далеко не всегда известен. Одним из самых распространенных является нормальное распределение. Для его описания достаточно двух первых моментов распределения случайных величин.

Наиболее простые характеристики законов распределения – среднее значение случайных величин (математическое ожидание) и дисперсия (математическое ожидание квадрата отклонения от среднего), характеризующая разброс значений случайных величин относительно среднего значения.

Функциональные преобразования сигналов. Одним из основных методов частотного анализа и обработки сигналов является преобразование Фурье. Различают понятия “преобразование Фурье” и “ряд Фурье”. Преобразование Фурье предполагает непрерывное распределение частот, ряд Фурье задается на дискретном наборе частот. Сигналы также могут быть заданы в наборе временных отсчетов или как непрерывная функция времени. Это дает четыре варианта преобразований – преобразование Фурье с непрерывным или с дискретным временем, и ряд Фурье с непрерывным временем или с дискретным временем. Наиболее практична с точки зрения цифровой обработки сигналов дискретизация и во временной, и в частотной области, но не следует забывать, что она является аппроксимацией непрерывного преобразования. Непрерывное преобразование Фурье позволяет точно представлять любые явления. Сигнал, представленный рядом Фурье, может быть только периодичен. Сигналы произвольной формы могут быть представлены рядом Фурье только приближенно, т.к. при этом предполагается периодическое повторение рассматриваемого интервала сигнала за пределами его задания. На стыках периодов при этом могут возникать разрывы и изломы сигнала, и возникать ошибки обработки, вызванные явлением Гиббса, для минимизации которых применяют определенные методы (весовые окна, продление интервалов задания сигналов, и т.п.).

При дискретизации и во временной, и в частотной области, обычно говорят о дискретном преобразовании Фурье (ДПФ):

(1.8)

где N- количество отсчетов сигнала. Применяется оно для вычисления спектров мощности, оценивания передаточных функций и импульсных откликов, быстрого вычисления сверток при фильтрации, расчете корреляции, расчете преобразований Гильберта, и т.п. Расчет ДПФ по приведенной формуле требует вычисления n коэффициентов, каждый из которых зависит от k элементов исходного отрезка, так что число операций не может быть меньше nk. Существует целое семейство алгоритмов, известное, как “Быстрое Преобразование Фурье” - БПФ, сокращающее число операций для вычисления коэффициентов до n log(k). “Быстрое” не следует трактовать, как “упрощенное” или “неточное”. При точной арифметике результаты расчетов ДПФ и по алгоритмам БПФ совпадают.

Традиционные методы анализа данных предназначены, как правило, для линейных и стационарных сигналов и систем, и только в последние десятилетия начали активно развиваться методы анализа нелинейных, но стационарных и детерминированных систем, и линейных, но нестационарных данных­.