Распределение касательного напряжения

В сечении трубы

Выделим в жидкости, движущейся в трубе, цилиндр радиуса с длиной (рис. 7.1.).

Рис. 7.1. Равновесие сил на поверхности цилиндра

Рассмотрим силы, действующие на выделенный цилиндр. В сечении (1—1) действует сила давления , в сечении (2—2) - сила , где и давления в сечениях (1—1) и (2—2). На боковую поверхность цилиндра действует сила трения . Кроме того, имеется еще массовая сила – сила инерции равняя массе жидкости выделенного объема, умноженной на ускорение его центра тяжести со знаком «минус».

Уравнение равновесия всех этих сил в проекции на ось трубы имеет вид:

. (7.6)

Поскольку движение жидкости считается установившимся, то . Кроме того, из уравнения неразрывности следует, что , следовательно, ускорение . Действительно

.

Тогда из уравнения (7.6) баланса сил заключаем, что распределение модуля касательного напряжения по радиусу трубы будет линейным:

, (7.7)

где . В частности, модуль касательного напряжения на внутренней поверхности трубы выражается формулой

. (7.8)

Используя (7.8), распределению (7.7) можно придать следующий вид:

. (7.9)

Отсюда видно, что касательное напряжение минимально на оси трубы ( ) и максимально на внутренней поверхности трубы .