Неустановившегося течения жидкости
Таких уравнений два. Первое из них - уравнение неразрывности потока, выражающее закон сохранения массы транспортируемой жидкости (рис.12.5).
x
Рис. 12.5. К выводу уравнений неустановившегося течения жидкости
Рассмотрим два близко расположенные сечения и трубопровода. Тогда закон сохранения массы жидкости можно сформулировать следующим образом: изменение массы жидкости в области между рассматриваемыми сечениями за время равно разности масс жидкости - , втекающей через сечение , и , вытекающей через сечение . Таким образом, имеем уравнение:
,
в котором нижний индекс показывает, в каком сечении берутся соответствующие параметры течения.
Поскольку с точностью до малых высшего порядка имеет место равенство
,
получаем первое дифференциальное уравнение:
, (12.9)
где ; ; неизвестные функции и .
Для установившегося течения частная производная по времени в уравнении (12.9) равна нулю, поэтому из него следует: , т.е. массовый расход жидкости постоянен по длине трубопровода.
Уравнение (12.9) называется уравнением неразрывности.
Второе уравнение, называемое уравнением движенияжидкости, выражает второй закон Ньютона. Для удобства его можно сформулировать так: изменение количества движения любого фиксированного элемента жидкости за время , равно суммарному импульсу всех внешних сил, действующих на этот элемент. В качестве элемента жидкости возьмем жидкость, заключенную в момент времени между сечениями и трубопровода. Учитывая, что этот элемент в момент времени займет новое положение, изменение его количества движения можно записать в следующем виде:
.
Первый член в правой части равенства дает изменение за время количества движения элемента, как если бы он был неподвижен, а два другие члена учитывают движения элемента в трубопроводе: добавляется количество движения частиц, ушедших из рассматриваемого элемента через сечение , и вычитается количество движения частиц, пришедших в рассматриваемый элемент через сечение .
Таким образом, с точностью до малых высшего порядка малости можно написать:
.
Проекция суммарного импульса всех внешних сил, действующих на жидкость в рассматриваемом элементе, на ось трубопровода включает следующие слагаемые:
· импульс сил давления на торцах элемента;
· импульс сил реакции стенок трубопровода;
· импульс сил трения жидкости о внутреннюю поверхность трубопровода;
· импульс сил тяжести, где угол наклона оси трубопровода к горизонту: .
Таким образом, второй закон Ньютона можно представить в следующем виде:
или
. (12.10)
Выполнив дифференцирование произведений в левой части уравнения (12.10), получим
В силу уравнения неразрывности (12.9) первое слагаемое в правой части уравнения равно 0, поэтому имеем:
или
(12.11)
Система уравнений (12.9-12.10) или (12.9-12.11) служит основой для описания неустановившихся течений жидкости в трубопроводе.
Дата добавления: 2016-05-16; просмотров: 678;