Стандартное нормальное распределение
Нормальное распределение при и называется стандартным нормальным распределением. Плотность стандартного нормального распределения имеет вид:
,
а функция распределения
называется функцией Лапласа.
Свойства функции Лапласа:
1. Функция Лапласа является табулированной, то есть ее значения приведены в таблицах (приложение 2). Она принимает значения от 0 до 0,5, то есть .
2. Функция нечетная, .
3. Вероятность попадания СВ на заданный интервал :
.
4. Вероятность отклонения СВ от своего математического ожидания
.
Пусть требуется найти вероятность попадания СВ на заданный интервал, симметричный относительно ее математического ожидания . По предыдущей формуле имеем:
.
Замечание. Иногда в качестве функции Лапласа берут функцию
,
тогда , значения этой функции принадлежат промежутку от 0 до 1: .
Пример.Найти вероятность попадания в интервал значений нормальной случайной величины , для которой математическое ожидание , среднее квадратическое отклонение .
Решение.Применим формулу:
;
в данном случае она примет вид:
.
Функция Лапласа является нечетной, поэтому
.
Значения , найдены по таблице значений функции Лапласа (приложение 2).
Правило трех сигм
Сформулируем теперь «правило трёх сигм»: практически достоверно, что если случайная величина распределена нормально, абсолютное отклонение ее от математического ожидания не превосходит утроенного среднеквадратического отклонения:
.
Или – вероятность того, что случайная величина отклониться от своего математического ожидания на величину, большую утроенного среднеквадратического отклонения, равна:
.
Смысла в запоминании числа 0,0027 нет никакого, а вот помнить, что почти вся масса нормального распределения сосредоточена в границах , всегда полезно.
Дата добавления: 2016-04-22; просмотров: 468;