Экспоненциальное распределение
В различных приложениях теории вероятностей, особенно в теории массового обслуживания, исследовании операций, в физике и т.д. широко применяется экспоненциальное (показательное) распределение.
Время занятости канала связи, время безотказной работы ЭВМ, продолжительность поиска чего–либо – все это экспоненциально распределенные случайные величины.
Неотрицательная величина X называется распределенной по экспоненциальному закону, если ее плотность распределения имеет вид
,
где - параметр экспоненциального распределения.
График плотности распределения изображен на рис. 13.
Рисунок 13 График плотности вероятности экспоненциально распределенной случайной величины
Определим основные числовые характеристики этого распределения:
,
т.е. математическое ожидание есть величина обратная параметру закона. Для отыскания дисперсии используем формулу
. Откуда средне – квадратичное отклонение будет равно
.
Вероятность попадания случайной величины на заданный участок, распределенной экспоненциально можно рассчитать, используя формулу
.
Вопросы для повторения
1 Какая величина называется случайной? Приведите примеры.
2 В чем отличие непрерывной случайной величины от дискретной?
3 Что понимают под законом распределения случайной величины?
4 На какие вопросы позволяет ответить ряд распределения и многоугольник распределения случайной величины?
5 Что называется функцией распределения? Как, зная функцию распределения случайной величины, определить вероятность попадания случайной величины в заданный интервал?
6 Что называется плотностью вероятности? Что она характеризует?
7 Как, зная плотность вероятности случайной величины, определить вероятность попадания случайной величины в заданный интервал?
8 Какими свойствами обладает математическое ожидание случайной величины и что физически оно характеризует?
9 Какими свойствами обладает дисперсия случайной величины и что физически она характеризует?
10 Какое применение находит среднее квадратичное отклонение?
11 Изобразите графики интегральной и дифференциальной функции распределения случайной величины, имеющей:
равномерное распределение;
нормальное распределение;
экспоненциальное распределение.
12 Как определяются числовые характеристики и вероятность попадания случайной величины в заданный интервал в случае ее:
равномерного распределения;
нормальное распределение;
экспоненциальное распределение.
13 В чем заключается сущность пуассоновского распределения? Чему равны числовые характеристики случайной величины с этим распределением?
Упражнения
2.1 Вычислите функцию распределения F(x) при x=3, если дискретная случайная величина описана рядом:
x: 0 2 3 5
p: 0.1 0.6 0.1 0.2.
2.2 Определите вероятность попадания дискретной случайной величины в интервал a=2, b=4, если известен ее ряд распределения:
x 0 1 2 3 4 5
p 0.1 0.2 0.1 0.3 0,05 0,25.
2.3 Аппаратура состоит из 50 узлов. Вероятность отказа каждого узла в течение 100 часов работы одинакова и равна 0,1. Найти математическое ожидание числа отказавших узлов за 100 часов работы.
2.4 Найдите МО дискретной случайной величины х, заданной рядом распределения:
х: -2 5 10
р: 0,2 0,3 0,5.
2.5 Найдите дисперсию дискретной случайной величины X – числа отказов элементов некоторого устройства в 20 независимых опытах, если вероятность отказа элемента в каждом опыте равно 0,3.
2.6 Дискретная случайная величина задана рядом распределения
х: 2 4 7
р: 0,5 0,2 0,3.
Найдите дисперсию случайной величины.
2.6 Непрерывная случайная величина распределена равномерно в интервале (3;9). Найдите математическое ожидание случайной величины.
2.7 Непрерывная случайная величина распределена равномерно в интервале (2;8). Найдите дисперсию случайной величины.
2.8 Непрерывная случайная величина распределена равномерно в интервале (0;10). Найдите вероятность попадания случайной величины в заданный интервал (3;5).
2.9 Требуется найти вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал (5;9), если a =5, .
2.10 Вычислите дисперсию случайной величины T, если плотность распределения ее равна .
2.11 Случайная величина X распределена нормально с математическим ожиданием a=10. Вероятность попадания X в интервал (10;20) равна 0.3. Чему равна вероятность попадания X в интервал (0;10)?
2.12 Случайная величина X распределена нормально со средне квадратичным отклонением . Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в который с вероятностью 0.9973 попадет случайная величина X в результате испытания.
2.13 Найдите дисперсию показательного распределения, заданного плотностью вероятности .
2.14 Найдите средне квадратичное отклонение случайной величины от центра группирования показательного распределения, заданного функцией распределения .
Дата добавления: 2016-04-19; просмотров: 1227;