Распределение Пуассона. Распределение Пуассона возникает в случае, когда на появление случайного события влияет много факторов
Распределение Пуассона возникает в случае, когда на появление случайного события влияет много факторов, но каждый фактор в отдельности влияет слабо. Поэтому его и называют законом редких событий.
Случайные величины: поступление вызовов на телефонную станцию; число отказов элементов при испытании на надежность сложного электронного устройства; число бракованных изделий в выборках из партий, изготавливаемых заводом изделий и т. д. имеют пуассоновское распределение.
Это распределение можно рассматривать как предельный случай биномиального распределения, когда число случаев , а вероятность события в отдельном опыте стремится к нулю . Тогда МО числа событий определится как произведение . Откуда вероятность события в одном опыте будет равна , а вероятность m событий в n опытах можно найти по формуле Бернулли
Так как число случаев , то
, и .
Следовательно, выражение для распределения Пуассона (индекс n не пишут, поскольку n велико) будет иметь вид
,
где ; p - можно трактовать как МО числа появлений события в одном опыте.
В ряде практических задач величина a может определяться как:
;
;
;
,
где l, s, v, t – длина, площадь, объем и время соответственно;
- математическое ожидание числа появлений события или на участке единичной длины, или на единичной площади, или в единичном объеме, или в единичном интервале времени.
Определим математическое ожидание и дисперсию случайной величины, имеющей пуассоновское распределение. Из определения МО случайной дискретной величины следует
, где ; .
После подстановки получаем
. Поэтому M[X]=a.
Для нахождения дисперсии воспользуемся формулой
. Откуда D[X]=a.
Таким образом, математическое ожидание равно дисперсии, если случайная величина имеет пуассоновское распределение.
Вероятность попадания случайной величины на заданный участок, распределенной по закону Пуассона, определяется по выражению
.
Дата добавления: 2016-04-19; просмотров: 614;