Распределение Стьюдента. На практике мы никогда не имеем дело с бесконечным числом измерений и не можем, следовательно, определить точно ни значение σ

На практике мы никогда не имеем дело с бесконечным числом измерений и не можем, следовательно, определить точно ни значение σ, ни значение х₀.

В качестве оценки значения математического ожидания для выборки из n реализаций принято рассматривать их среднее арифметическое значение:

В качестве оценки дисперсии вводится величина выборочной дисперсии и величина выборочного среднеквадратичного отклонения , определяемые:

и

(12)

Можно показать, что при стремлении n к бесконечности → σ².

Очевидно, что среднее арифметическое значение всех реализаций отличается от х₀ меньше чем отдельное значение. Другими словами дисперсия ( ) и среднеквадратичное отклонение ( ) среднего арифметического меньше чем дисперсия и среднеквадратичное отклонение отдельного измерения. В теории вероятности доказываются следующие соотношения:

и = σ2 /n	(13)
и	(14)

Если мы имеем дело с конечным (и обычно не очень большим) числом измерений, то распределение уже не является Гауссовым. Качественно характер распределения подобен нормальному, но описывается другой функцией плотности распределения вероятности и носит название - распределение Стьюдента (псевдоним английского математика В. Госсета).

Распределение Стьюдента, в отличие от Гауссова, не определяется однозначно дисперсией и средним значением реализаций, а зависит еще от числа измерений n. В распределение Стьюдента входит параметр t , называемый коэффициентом Стьюдента, он зависит от двух величин – от числа измерений и от доверительной вероятности, поэтому указывается с двумя индексами: t_p,n . Таблица наиболее часто используемых коэффициентов Стьюдента приведена в приложении (§1). Коэффициент Стьюдента связывает среднеквадратичную ошибку среднего арифметического с величиной доверительного интервала.

(15)

Чем больше требуемая вероятность, тем больше коэффициент Стьюдента и, следовательно, больше доверительный интервал. С увеличением числа измерений значение коэффициента Стьюдента убывает.

Окончательный результат представляют в виде:

(16)

Как следует из сказанного, увеличение числа измерений необходимо для увеличения точности результатов. С ростом n среднее арифметическое ближе к истинному значению х₀ и доверительный интервал Δх при заданной вероятности Р будет меньше.

Однако не следует забывать о существовании помимо случайных погрешностей еще и неисключенных систематических. Большое число измерений уменьшает только случайную ошибку, но, учитывая наличие систематической погрешности, проводить слишком большое число измерений нерационально.