Метод множителей Лагранжа. Пусть решается задача определения условного экстремума функции z=f(X) при ограничениях φi(x1,x2, ,xn)=0

Пусть решается задача определения условного экстремума функции z=f(X) при ограничениях φ_i(x₁,x₂,…,x_n)=0, i=1,2,…,m,m<n.

Составим функцию

, (5.1)

которая называется функцией Лагранжа. λ_i — постоянные множители (множители Лагранжа). Отметим, что множителям Лагранжа можно придать экономический смысл. Если f(х₁, х₂, ..., х_n) — доход, соответствующий плану Х =(х₁, х₂, ..., х_n), а функция φ_i (х₁, х₂,х_n) — издержки i-го ресурса, соответствующие этому плану, то λ_i — цена (оценка) i-го ресурса, характеризующая изменение экстремального значения целевой функции в зависимости от изменения размера i-го ресурса (маргинальная оценка). L(X) — функция n+m переменных (х₁, х₂,..., х_n, λ₁, λ₂,…, λ_m ). Определение стационарных точек этой функции приводит к решению системы уравнений

(5.2)

Легко заметить, что L′ _λi (Х) =φ_i (Х), т.е. в (5.2) входят уравнения связи. Таким образом, задача нахождения условного экстремума функции z=f(X) сводится к нахождению локального экстремума функции L(X). Если стационарная точка найдена, то вопрос о существовании экстремума в простейших случаях решается на основании достаточных условий экстремума — исследования знака второго дифференциала d²L(X) в стационарной точке при условии, что переменные приращения Δх_j, связаны соотношениями

(5.3)

полученными путем дифференцирования уравнений связи.