Известно, для любого момента времени для электрической цепи, содержащей и , дифференциальное уравнение равновесия падений напряжений для любой фазы, например, для фазы , имеет вид

, (3.1)

где -коэффициент взаимоиндукции между фазами.

Имея в виду, что в трехфазной сети с изолированной нейтралью в любой момент времени имеет место соотношение , можно это уравнение представить (опуская индекс фазы)

, (3.2)

где - результирующая индуктивность фазы, то есть индуктивность с учетом влияния двух других фаз.

Решение (3.2), например, для фазы , имеет вид (для дифференциального уравнения первого порядка с правой частью, отличной от нуля)

, (3.3)

где - полное сопротивление присоединенного к источнику участка цепи или цепи к.з.; - угол, определяющий значение проекции на ось времени в момент времени (иначе, фаза включения);

- угол сдвига тока фазы по отношению к напряжению фазы в цепи к.з.;

- постоянная времени цепи к.з.

Первый член правой части (3.3) представляет собой синусоиду (периодическую слагающую полного тока , которая при рассматриваемых условиях является принужденным током с постоянной амплитудой . Соответственно, второй член решения представляет собой затухающий по закону экспоненты свободный ток (апериодическая слагающая полного тока), начальное значение которого определяют из начальных условий, то есть . (3.4)

Согласно правилу Ленца в момент времени для фазы , должен равняться току режима, предшествующему к.з.

. (3.5)

Подставляя выражение из (3.5) в (3.4), получим

, (3.6)

где - начальное значение апериодической слагающей тока к.з.

Следовательно, можно записать

. (3.7)

Переходя к обозначениям, принятым в расчетах токов к.з, можно записать, что для любой фазы ,

где - мгновенное значение полного тока к.з.; - мгновенное значение периодической слагающей полного тока к.з.; - мгновенное значение апериодической слагающей полного тока к.з.

Подставляя значения и из (3.3) и (3.7), можно для фазы записать

. (3.8)

Выражение (3.8) определяет полный ток фазы при трехфазном к.з. в переходном процессе (при питании короткозамкнутой цепи от источника неограниченной мощности).

Рассматриваемый переходный процесс можно проиллюстрировать графически, если воспользоваться векторной диаграммой рис.3.2.

Из формулы (3.7) для фазы , имеем .

Следовательно, значение можно представить как или

Рис.3.3.

Отмечая на оси значения проекции этой разности, получаем в виде отрезка . Там же (на оси отрезки -мгновенное значение полного тока до к.з., а -мгновенное значение периодической слагающей тока к.з.

На оси откладываем начальное значение апериодической слагающей тока к.з. . Поэтому отрезок отложен вверх от точки по оси (отрезок ).

Развертывая далее переходный процесс во времени, получим осциллограмму рис.3.3.

На осциллограмме отмечены: -полный ток к.з. ( для фазы );

-периодическая слагающая тока к.з.; -апериодическая слагающая тока к.з.

Аналогично можно построить осциллограммы тока к.з. для фаз и .

Наибольшее начальное значение апериодической слагающей тока к.з.

Как следует из осциллограммы рис.3.3. максимальное мгновенное значение полного тока к.з. фазы зависит от положения вектора ( ), то есть от значения , которое может изменяться от нуля (когда вектор перпендикулярен оси ) до , когда вектор параллелен оси . В свою очередь, положение вектора в момент возникновения к.з. зависит от фазы включения – угла .

Кроме того, значение зависит также от величины тока до к.з., то есть от тока .

Очевидно, что если (то есть фаза до к.з. была не нагружена (холостой ход)), то выражением для будет формула

. (3.9)

Таким образом, наибольшее значение будет иметь место в том случае, если:

а) электрическая цепь до к.з. была ненагруженной;

б) фаза включения напряжения ( ) для рассматриваемой фазы равна или , то есть проекция вектора на ось равна нулю (рис.3.4).

Рис.3.4.

Осциллограмма тока к.з. для фазы при переходном процессе, когда приведена на рис.3.5.

На осциллограмме - амплитудное значение периодической слагающей тока к.з.; - начальное значение апериодической слагающей тока к.з. При этом .

Как следует из осциллограммы, переходный процесс заканчивается к моменту исчезновения апериодической слагающей тока к.з., а не затухает в переходном процессе и этим своим значением переходит в установившийся ток при к.з., то есть .

Заметим, что периодическая слагающая тока к.з. остается симметричной, тогда как апериодическая слагающая и полный ток к.з. несимметричны относительно оси в переходном процессе. То же самое имеет место в фазах и .

Асимметрия полного тока к.з. относительно оси времени обусловлена наличием апериодической слагающей тока к.з., которая является криволинейной осью симметрии полного тока к.з. . Поэтому следует иметь в виду, что понятие трехфазное к.з. является симметричным справедливо только для периодических слагающих полного тока трех фаз. Полные же токи к.з. в трех фазах будут неодинаковыми, и, разумеется, несимметричными.