Интегрирование тригонометрических функций.

1. Интегралы вида òsin^mx cosⁿx dx

а) Если хотя бы один из показателей m и n – нечетное положительное число – используются подстановки sinx = t при нечетном n и cosx = t при нечетном m.

Примеры:

б) Если оба показателя m и n – четные положительные числа, подинтегральную функцию следует преобразовать с помощью известных соотношений: .

Пример:

2. Интегралы вида òtg^mxdx и òctg^mxdx, где m – целое положительное число, интегрируются с помощью соотношений tg²x = sec²x–1 и ctg²x = cosec²x – 1, позволяющих последовательно понижать степень подинтегральной функции.

Пример:

Аналогично находятся интегралы вида òtg^mx secⁿx dx и òctg^mx cosecⁿx dx, где n – целое положительное число.

Интегралы òsin(mx) cos(nx) dx, òcos(mx) cos(nx) dx, òsin(mx) sin(nx) dx вычисляются с помощью формул sina cosb = ½[sin(a +b) + sin(a – b)], cosa cosb = ½[cos(a + b) + cos(a – b)], sina sinb = ½[cos(a – b) – cos (a + b)], позволяющих произведение тригонометрических функций представить в виде суммы.

Интегралы вида òR(sinx, cosx)dx, где R – рациональная функция, вычисляются с помощью универсальной тригонометрической подстановки tg x/2 = t (х = 2arctgt). Переход к новой переменной в подинтегральном выражении осуществляется с помощью формул:

(5.26)

Пример:

Проинтегрируем с помощью тригонометрической подстановки простейшую рациональную дробь четвёртого типа , где . Выделив в знаменателе полный квадрат получим и, обозначив . Применив подстановку получим легко вычисляемый уже известным приёмом.

Контрольные вопросы.

1) Как найти интегралы вида , если: а) хотя бы один из показателей m или n – нечётное положительное число; б) оба показателя m и n – чётные положительные числа?

2) Как найти интегралы вида , где m – целое положительное число?

3) Как найти интегралы вида , где R – рациональная функция?

Тест 24.

Найти интегралы и указать верные ответы: 1) 2) .

1) а) ; б) ;

2) а) ; б) .