Условный экстремум функции нескольких переменных.

Экстремумы функции нескольких независимых переменных называются абсолютными.

Аргументы функции нескольких переменных могут быть связаны некими соотношениями (условиями). В этом случае экстремумы функции f(x,y) называют условными или относительными. Рассмотрим ситуацию на примере функции двух переменных.

Поставим задачу: найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x,y) в некоторой замкнутой области. Задача решается в два этапа. Сначала мы ищем абсолютные экстремумы внутри области. Затем находим условные экстремумы на границах области. (Уравнения границ и есть условия, связывающие аргументы функции f(x,y)). Из найденных значений (абсолютных экстремумов внутри области и условных на границах ее) выбирают наибольшее и наименьшее.

Пусть на плоскости х0у дан треугольник АОВ, образованный осями координат Ох (у = 0), Оу (х = 0) и прямой х + у – 1 = 0. Найдем точку С треугольника, для которой сумма квадратов расстояний ее от вершины треугольника (обозначим ее через Z) была бы наименьшей.

В (0;1) А (1;0) х + у – 1 = 0 у х ● С (х;у) O 1 ●     Рис. 4.4

Z = OC2 + OB2 + OA2 =   = x2 + y2 + (x – 1)2 + y2 + x2 + (y – 1) откуда Z = 2x2 + 2y2 + (x – 1)2 + (y – 1)2   Найдем абсолютные экстремумы внутри рассматриваемой области. 4х + 2(х – 1) = 6х – 2;   4у + 2 (у – 1) = 6у – 2

∆ = АС – В² = 36 > 0; А > 0 и, следовательно, в точке функция

Z = f(x,y) имеет минимум .

Найдём условные экстремумы на границах области.

1. Прямая ОА; у=0; Подставляя уравнение границы в получим функцию одной переменной и найдём её экстремум Критическая точка:

2. Прямая ОВ; х=0; Критическая точка

3. Прямая АВ; ; Критическая точка

Сравнивая полученные значения абсолютного и условных экстремумов находим наименьшее значение функции в замкнутой области .

Рассмотренный способ отыскания условного экстремума не всегда пригоден. (Например, если уравнение границы области задано неявной функцией , неразрешимой относительно переменных). В этом случае целесообразно использовать способ множителей Лагранжа. Рассмотрим его на примере функции двух переменных.

Найдём экстремум функции (1) при условии, что х и у связаны уравнением (2). Напомним, что при значениях х, соответствующих стационарным точкам, . Найдём помня, что у есть функция от х: В точках экстремума (3). Из (2) находим (4). Это равенство справедливо для всех х и у, удовлетворяющих (2). Умножив (4) на неопределённый коэффициент (его и называют множителем Лагранжа) и сложив результат с (3) получим:

, (5).

Это равенство выполняется во всех точках экстремума. Подберём l так, чтобы в точках экстремума функции z, вторая скобка в (5) обратилась в нуль. (Без потери общности полагаем, что в критических точках ). Тогда (при значениях х и усоответствующих экстремумам) из (5) следует равенство .

Получаем систему из трёх уравнений с тремя неизвестными (6) Левые части уравнений системы (6) представляют собой частные производные функции (7) по переменным х, у, l. Уравнения системы являются необходимыми условиями относительного экстремума. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области надо:

1. Найти стационарные точки и вычислить значения функции в них.

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на границах области.

3. Из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Рассмотренный метод исследования на условный экстремум легко распространяется на функции произвольного числа переменных.

Пример: Из данного куска жести площадью 2а надо сделать закрытую коробку в форме прямоугольного параллелепипеда максимального объёма, т.е. надо найти максимум функции , где ( - размеры) при условии что (10) . Составим вспомогательную функцию . Найдя её частные производные и приравняв их нулю получим ещё три уравнения (относительно и l).

.

учётом (10) находим . Подставляя в (11) получим:

х, у, z по смыслу задачи отличны от нуля, следовательно,

. Из первых двух уравнений находим х = у, из второго и третьего у = z. Из (10) получим . Это единственная система значений х, у, z при которых может быть максимум или минимум. Из геометрических соображений очевидно, что это максимум (набор единствен, размер коробки ограничен и при каких-то размерах максимален).

Контрольные вопросы.

1) Как находятся условные экстремумы функции f(x,y)?

2) Всегда ли применяется способ отыскания условного экстремума?

3) Что называют множителем Лагранжа?

4) Что нужно, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области?