Глава 5. Неопределенный интеграл.

Определение. Таблица интегралов.

Одной из задач предыдущей части курса было нахождение производной функции f(x) -новой функции f `(x). Сформулируем обратную задачу – найти функцию F(x), производная которой - заданная функция f(x).

Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на отрезке [a, b], если во всех точках этого отрезка выполняется равенство F`(x) = f(x).

Первообразная определяется с точностью до произвольной постоянной: [F(x) + C]` = f(x). Если F(x) – первообразная функции f(x), то функциями видаF(x) + C исчерпываются все первообразные функции f(x).

Если функция F(х) – первообразная функции f(x), то выражение F(x) + C называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается

ò f(x)dx = F(x) + C (5.1),

где ^.f(x) – подинтегральная функция, f(x)dx – подинтегральное выражение, ò – знак интеграла.

Неопределенный интеграл представляет собой семейство функций, геометрически – семейство кривых, каждая из которых получается сдвигом одной из кривых вдоль оси Оу.

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то для этой функции существует первообразная (и неопределенный интеграл). (Теорема существования).

Нахождение первообразной функции f(x) называется интегрированием ее.

Отметим, что если производная элементарной функции также элементарная функция, то первообразная элементарной функции может оказаться и неэлементарной функцией.

Из определения первообразной следует:

1. Производная от неопределенного интеграла равна подинтегральной функции, т.е. если F`(x) = f(x), то и (òf(x)dx)` = f(x) (5.2).

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подинтегральному выражению, т.е. d(òf(x)dx) = f(x)dx (5.3).

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная òF(x) dx = F(x) + C(5.4).

Несложно показать, что справедливы и следующие свойства:

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен сумме интегралов от них: ò[f₁(x) + f₂(x)]dx = òf₁(x)dx + òf₂(x)dx(5.5).

5. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. если а = const, то òaf(x)dx = aòf(x)dx (5.6).

6. Если òf(x)dx = F(x) + C и u = j(x), то òf(u)du = F(u) + C (5.7).

Используя таблицу производных и соотношения (5.2) – (5.7) несложно получить таблицу интегралов от простейших функций.

при a ¹ –1 (5.8)	(5.15)
(5.9)	(5.16)
(5.10)	(5.16`)
(5.11)	(5.17)
(5.12)	(5.17`)
(5.13)	(5.18)
(5.14)	(5.18`)

Приведем еще две формулы, справедливость которых можно проверить дифференцированием.

(5.19) (5.20)

Интегрирование в случаях, когда удается сразу воспользоваться табличными интегралами, называют непосредственным. Чаще подинтегральную функцию приходится преобразовывать, чтобы свести исходный интеграл к одному или нескольким табличным. Один из эффективных приемов – метод подстановки: в интеграле вида òf(x)dxделают замену переменной, положив x = j(t)(j(t) – непрерывная функция с непрерывной производной, имеющая обратную функцию). Тогда dx = j`(t)dt и òf(x)dx = òf(j(t))j`(t)dt. Подразумевается, что после интегрирования в правой части равенства вместо t будет подставлено его выражение через х (возвращение к исходной переменной). Функцию j(t) следует выбирать так, чтобы вычисление интеграла в правой части было максимально простым. Поясним на примере: . Положим х = аt, откуда dx = аdt, t=x/a.. Исходный интеграл примет вид =

= = [см (5.17)] = = Т.о.

(5.17`).

Иногда удобнее применять замену переменной вида t = y(x). Вычислим [cosx = t; sinxdx = –dt] =

= .

Контрольные вопросы.

1) Сформулируйте определение первообразной функции. Докажите, что любые две первообразные одной и той же функции отличаются на постоянное слагаемое.

2) Что называется неопределённым интегралом? Каков его геометрический смысл и основные свойства?

3) Постройте кривые семейства , проходящие через точки М₁(2,1), М₂(2,2), М₃(2,3).

4) Каковы основные методы интегрирования функций?

5) Укажите целесообразные подстановки для отыскания интегралов:

Тест 21.

Найти неопределённые интегралы 1) ; 2) и указать верный ответ:

1) а) б) 2) а) ; б) .

5.2. Интегрирование по частям.Если u и v дифференцируемые функции от х, то d(uv) = vdu + udv откуда, интегрируя, получим

uv = òvdu + òudvиòudv = uv – òvdu (5.22).

Это соотношение называют формулой интегрирования по частям.

Подинтегральное выражение "разбивают на части" - u и dv, подбирая их так, чтобы òvdu был табличным или более простым, чем исходный.

Пример: òхе^хdx = ?Положим u = x и e^xdx = dv, тогда du = dx и v = e^x откуда òхе^хdx = хе^х – òе^хdx = хе^х– е^х + C.

Отметим, что при нахождении v по dv произвольную постоянную без потери общности полагают равной нулю.

Контрольные вопросы.

1) Выведите формулу интегрирования по частям.

2) Укажите некоторые типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям.

Тест 21.

Найти неопределённые интегралы и указать верные ответы:

1) , 2) .

1) а) ; б) ;

2) 2)а) ; б)

5.3. Интегрирование рациональных функции.Всякую рациональную функцию можно представить в виде рациональной дроби – отношения двух многочленов (без потери общности полагаем, что они не имеют общих корней).

Если степень числителя ниже степени знаменателя дробь называют правильной, в противном случае - неправильной. Неправильную дробь (m ³ n), разделив числитель на знаменатель, можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби .

Рациональные дроби вида: ; ; ; , где k – целое положительное число ³ 2, называются простейшими дробями 1, 2, 3 и 4 типов. Всякую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей, интегралы от которых рассмотрены ниже.

1. (5.23)

2. (5.24)

3. Применим следующий способ. Найдем дифференциал знаменателя d(x² + nx + q) = (2x + n)dx и представим числитель в виде суммы , тогда

(5.25)

Интеграл от простейшей дроби четвёртого типа легко вычисляется с помощью тригонометрической подстановки и будет рассмотрен ниже.

Разложение рациональной дроби на простейшие можно осуществить опираясь на следующие теоремы (приводятся без доказательств).

1. Если х = а есть корень знаменателя кратности к, т.е. f(x) = (х – а)^кf₁(x)где f₁(а)¹ 0, то правильную дробь можно представить в виде суммы двух других правильных дробей , где А – постоянная, отличная от нуля , а F₁(x) многочлен, степень которого ниже степени знаменателя (х – а)^к–1f₁(x).

3. Если f(x) = (x² + nx + q)^mj₁(x), где многочлен j₁(х) не делится на x² + nx + q, то правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы двух других правильных дробей следующим образом: , где Ф(х) – многочлен, степень которого ниже степени многочлена (x² + nx + q)^m–1j(x). Применяя к дроби эти теоремы, можно выделить последовательно все простейшие дроби, соответствующие корням знаменателя f(x). Т.е. если f(x) = (х – а)^a(х – b)^b …(x² + nx + q)^m… (x² + lx + s)ⁿ , то дробь представима в виде:

Коэффициенты А, А₁, …, В, В₁, … определяют исходя из того, что последнее равенство есть тождество. Приведя дроби к общему знаменателю, получим тождественные многочлены в числителях слева и справа. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов А, А₁, …,В, В_1,…

Пример: используя предложенный способ разложим на простейшие дроби . Приведя слагаемые к общему знаменате-лю и приравняв числители, получим х² + 2 = А(х – 2) + А₁(х + 1)(х –2) +А₂(х + 1)²(х –2) + В(х +1)³или х² + 2 = (А₂ + В)х³ + (А₁ + 3В)х² + (А – А₁ – 3А₂ + 3В)х +

+ (–2А – 2А₁ – 2А₂ + В). Приравнивая коэффициенты при х³, х², х, и х⁰ (свобод-

ный член) получим систему,

решая которую, найдем: А = –1, А₁ = 1/3, А₂ = – 2/9, В = 2/9

В результате получим: .

Чтобы вычислить интеграл от рациональной дроби, нужно, если дробь неправильная, представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби, а дробь разложить на сумму простейших.

Пример: