Интегрирование выражений вида .

Разложение правильной рациональной дроби

В сумму простейших дробей.

Пусть дана правильная дробь: Тогда каждому множителю соответствует сумма простейших дробей , а каждому множителю вида соответствует сумма простейших дробей

Примеры.

1. Найти вид разложения рациональной дроби на сумму простейших дробей: .

Решение: , так как Þ на линейные множители разложить нельзя. =

2. Найти .

Решение. .

Разложим рациональную дробь на сумму простейших дробей:

при . Найдем коэффициенты A и B. Так как знаменатели равны, приравняем числители: .

При получим: . При получим: . Следовательно, Þ .

3. Найти .

Решение. Þ . Дробь правильная. Разложим на сумму простейших: . Верно при . Приравниваем числители: . Найдем .

При имеем: . При получим: .

При получим: ; Þ . Следовательно,

. .

(Так как ).

4. Найти .

Решение. Уравнение не имеет действительных корней Þ выражение нельзя разложить на множители. Преобразуем:

.

Интегрирование выражений вида .

Интегралы при помощи подстановки можно свести к интегралам , которые мы рассматривали ранее.

Пример. Найти .

Решение. Сделаем замену переменной: . Тогда . Разложим на сумму простейших дробей: Þ . При : . При : .

Интегралы вида , где .

1. Если m нечетное, то

, делаем замену . Так как m-1 –четное, то выражаем через .

2. Если n нечетное, то

.

3. Если оба числа m и n- четные, то используем формулы понижения степени:

; .

Примеры.

1. .

2.

.

Интегралы вида

Метод основан на формулах: , . Произведя замену переменной: , мы придем к , который можем найти.

Пример.

.