Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент.
Пусть в пространстве (х, у, z) есть область D, в которой задана функция u = u(x, y, z). В этом случае говорят, что в области D задано скалярное поле, т.е. каждая точка из этой области хaрактеризуется скаляром (числом) u, однозначно связанным с ее координатами. (Если u = f(x, y, z) определяет температуру в точке М (х, у, z) – поле температур и т.п.).
| Рис 4.2 |
Проведем из точки Мобласти D(рис. 4.2) вектор `s, напрaвляющие косинусы которого cosa, cosb, cosg (a, b, g – углы наклона вектора к осям Ох. Оу, Оz). Возьмем на s точкy М1 (х + Dх, у + Dу, z + Dz). Расстояние ММ1 определится выражением 
. Полагаем, что функция и ее производные по х, у, z непрерывны в области D. Полное приращение функции представим как Du = ux` Dx + uy` Dy + uz` Dz + e1Dx + e2Dy + e3Dz (1) где e1, e2, e3 стремятся к нулю при Ds ® 0. Разделим все члены (1) на Ds:
(2).
Очевидно, что 
и (2) можно записать в виде: 
(3). в точке (x,y,z)
Предел отношения Du / Ds при Ds ® 0 называется производной от функции u = f(x, y, z) в точке (х, у, z) по направлению вектора `s и обозначается 
; 
(4). Переходя к пределу в (3) получим:
(4.9)
Зная частные производные легко найти производную по любому направлению `s. (Сами частные производные являются производными по направлению векторов `i, `j, `k).
Градиентом функции u = f(x, y, z) в точке M(x, y, z) называется вектор, проекции которого на оси координат являются значениями частных производных функции в этой точке: 
(4.10)
Т.о. каждой точке области D задания функции u соответствует градиент grad u, т.е. в области D определено векторное поле градиентов. Можно показать, что если в области D задано скалярное поле u = u(x, y, z) и в нем определено поле градиентов (4.10), то 
(производная по направлению`s)равняется проекции вектора grad u на вектор `s ,т.е. 
(4.11),
откуда, обозначив через j угол между `s и grad u, получим
4.11`) или 
(4.11``).
Отметим важное свойство градиента – производная в данной точке по направлению вектора `s имеет наибольшее значение и равнa |grad u|, если направление`s совпадает с направлением градиента.
Контрольные вопросы.
1) Какое поле называется скалярным?
2) Как находится производная от функции u=f(x,y,z) в точке (x,y,z) по направлению вектора 
?
3) Что называют градиентом функции (поля) u=f(x,y,z) в точке (x,y,z)?
Тест 20.
1) Полагая u=1, 2, 3, 4 определить какому уравнению удовлетворяет чертёж.
| u=4 |
| u=3 |
| u=2 |
| x |
| y |
а) u=x+y;
б) u=x2+y2;
в) u=x+1+y.
2) Что будет являться производной функции 
в точке А (3;4) по направлению биссектрисы первого координатного угла.
а) 1; б) 
; в) 0.
Дата добавления: 2016-04-14; просмотров: 1033;