Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент.

Пусть в пространстве (х, у, z) есть область D, в которой задана функция u = u(x, y, z). В этом случае говорят, что в области D задано скалярное поле, т.е. каждая точка из этой области хaрактеризуется скаляром (числом) u, однозначно связанным с ее координатами. (Если u = f(x, y, z) определяет температуру в точке М (х, у, z) – поле температур и т.п.).

Рис 4.2
Проведем из точки Мобласти D(рис. 4.2) вектор `s, напрaвляющие косинусы которого cosa, cosb, cosg (a, b, g – углы наклона вектора к осям Ох. Оу, Оz). Возьмем на s точкy М1 (х + Dх, у + Dу, z + Dz). Расстояние ММ1 определится выражением . Полагаем, что функция и ее производные по х, у, z непрерывны в области D. Полное приращение функции представим как Du = ux` Dx + uy` Dy + uz` Dz + e1Dx + e2Dy + e3Dz (1) где e1, e2, e3 стремятся к нулю при Ds ® 0. Разделим все члены (1) на Ds:

(2).

Очевидно, что и (2) можно записать в виде: (3). в точке (x,y,z)

Предел отношения Du / Ds при Ds ® 0 называется производной от функции u = f(x, y, z) в точке (х, у, z) по направлению вектора `s и обозначается ; (4). Переходя к пределу в (3) получим:

(4.9)

Зная частные производные легко найти производную по любому направлению `s. (Сами частные производные являются производными по направлению векторов `i, `j, `k).

Градиентом функции u = f(x, y, z) в точке M(x, y, z) называется вектор, проекции которого на оси координат являются значениями частных производных функции в этой точке: (4.10)

Т.о. каждой точке области D задания функции u соответствует градиент grad u, т.е. в области D определено векторное поле градиентов. Можно показать, что если в области D задано скалярное поле u = u(x, y, z) и в нем определено поле градиентов (4.10), то (производная по направлению`s)равняется проекции вектора grad u на вектор `s ,т.е. (4.11),

откуда, обозначив через j угол между `s и grad u, получим

4.11`) или (4.11``).

Отметим важное свойство градиента – производная в данной точке по направлению вектора `s имеет наибольшее значение и равнa |grad u|, если направление`s совпадает с направлением градиента.

 

Контрольные вопросы.

1) Какое поле называется скалярным?

2) Как находится производная от функции u=f(x,y,z) в точке (x,y,z) по направлению вектора ?

3) Что называют градиентом функции (поля) u=f(x,y,z) в точке (x,y,z)?

Тест 20.

1) Полагая u=1, 2, 3, 4 определить какому уравнению удовлетворяет чертёж.

u=4
u=3
u=2
x
y

 

 

а) u=x+y;

б) u=x2+y2;

в) u=x+1+y.

 

 

2) Что будет являться производной функции в точке А (3;4) по направлению биссектрисы первого координатного угла.

а) 1; б) ; в) 0.

 








Дата добавления: 2016-04-14; просмотров: 1027;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.006 сек.