Поляризация диэлектриков в электростатическом поле. Свободные, поляризационные заряды в диэлектрике 2 страница

.

электрическогополя (рис.5.20) вдоль L контура равна нулюв любом случае: при отсутствии или наличиина границе между диэлектриками с ε₁ и ε₂ относительными диэлектрическимипроницаемостямиqсвободногозаряда с σповерхностной плотностью.

Циркуляция вектора E₂ напряжённости электрического поля по верхней стороне a длинойзамкнутого L контура с учётом равенства cos(E₁ ^dl) = 1, т.к. этот вектор E₂ напряжённости электрического поля сонаправлен вектору dl, равен положительной величине E_2τa. Циркуляция вектора E₁ напряжённости электрического поля по нижней стороне a длиной замкнутого L контура с учётом равенства cos(E₂ ^dl) = - 1, т.к. этот вектор E₁ напряжённости электрического поля противонаправленвектору dl, равен отрицательной величине "- E_1τa". Поэтому (5.41) циркуляция векторов E₁ и E₂ напряжённостей электрического поля по (рис.6.20) замкнутому L контурус учётом b ширины этогоконтура, стремящейся к нулю, т.е. b→0, имеет следующий вид:

∫ Edl= ∫ Edlcos(E ^dl) = E_2τa - E_1τa = 0 ↔ E_1τ = E_2τ.(5.90) L L

Согласно (5.90) при переходе вектора E напряжённости электрическогополя через границу диэлектриков с различными ε₁ и ε₂ относительными диэлектрическимипроницаемостями при отсутствии или наличиина границе между этими диэлектриками qсвободногозаряда с σповерхностной плотностью тангенциальная E_τсоставляющая вектора E напряжённости электрическогополя не меняется.

С учётом(5.87) связи вектора D электрического смещенияс векторомE напряжённости электрическогополя D = ε₀ εE выражение (5.90) для проекций D_1τ и D_2τ на направление τ орта вектора D электрического смещенияпринимает следующий вид: D_1τ/ε₀ε₁ = D_2τ/ε₀ε₂ ↔D_1τ/D_2τ = ε₁/ε₂.(5.91)Согласно (5.91) при переходе через границу диэлектриков с различными ε₁ и ε₂ относительными диэлектрическимипроницаемостями при отсутствии или наличиина границе между этими диэлектриками qсвободногозаряда с σповерхностной плотностьюqзарядов тангенциальная D_τсоставляющая вектора D электрического смещенияпретерпевает разрыв. С учётом, например, (рис.5.21, а, б) ε₂ > ε₁ проекции D_1τ и D_2τ на направление τ орта вектора D электрического смещения в этих диэлектриках связаны соотношением D_1τ < D_2τ, что отражено на рис.5.21, а, б меньшей длиной вектора D_1τ по сравнению с длиной вектора D_2τ.

Нормальные составляющие вектора электрического смещенияи напряжённости электрического поля на границе раздела диэлектриков

Воображаемыйцилиндр с S площадью оснований и b толщиной охватывает диэлектрики с ε₁ и ε₂ диэлектрическимипроницаемостями при (рис.5.21, а) наличиина границе между диэлектриками qсвободногозаряда с σповерхностной плотностьюи при (рис.5.21, б) отсутствииqмежду диэлектриками qсвободногозаряда с σповерхностной плотностью, т.е. когда σ = 0.

Вектор D электрического смещенияимеет (рис.5.21, а, б) векторы D₁ и D₂ в диэлектриках с ε₁ и ε₂ относительными диэлектрическимипроницаемостями.

Поток (5.89) N_D вектора D электрического смещения через воображаемый цилиндр

(рис.5.21, а, б) с основанием S площадью, b толщиной при b→0 будет состоять только из нормальных D_n составляющих вектора D электрического смещения.

Поток (рис.5.21, а, б) N_2Dвектора D₂ электрического смещения через верхнееоснование

S площадьювоображаемогоцилиндра равен положительной величине D_2nS, т.к. вектор D₂ электрического смещения сонаправлен векторувнешней n₂ нормали к этому верхнемуоснованию S площадьювоображаемогоцилиндра.

Поток (рис.5.21, а, б) N_1Dвектора D₁ электрического смещения через нижнееоснование S площадьювоображаемогоцилиндра равен отрицательной величине "- D_1nS ", т.к. вектор D₁ электрического смещения противонаправлен векторувнешней n₁ нормали к этому нижнемуоснованию S площадьювоображаемогоцилиндра.

В пространстве, охватываемым воображаемымцилиндром с основаниями S площадью и b толщиной, на (рис.5.21, а) границе между диэлектриками с ε₁ и ε₂ диэлектрическимипроницаемостямиприсутствуют qсвободныезаряды с σповерхностной плотностью, поэтому согласно (5.89) поток N_Dвектора D электрического смещения через замкнутую поверхность

(рис. 5.21)воображаемогоцилиндра равен всему qсвободному заряду, охватываемомузамкнутойповерхностью этого воображаемогоцилиндра, вследствие чего для этого потока N_Dвектора D электрического смещения имеет место следующее выражение: N_D =D_2nS - D_1nS = σS ↔ D_2n - D_1n= σ, (5.92)

где σS - это (рис.5.21, а) весь qсвободныйзаряд, охватываемыйзамкнутойповерхностью воображаемогоцилиндра с основаниями S площадью и b толщиной, т.к. этот qсвободныйзаряд с σповерхностной плотностью сосредоточен только на границе плоской поверхности S площадью между диэлектриками с ε₁ и ε₂ диэлектрическимипроницаемостями; D_1n, D_2n - модули векторов D_1n, D_2n нормальныхсоставляющих вектора D электрического смещениясоответственно в диэлектриках с ε₁ и ε₂ диэлектрическимипроницаемостями; знак "-" перед D_1n поставлен потому, что проекция вектора D₁ электрического смещенияв диэлектрике с ε₁ диэлектрическойпроницаемостью на внешнюю n₁ нормальк нижнему основанию Sплощадьювоображаемогоцилиндра отрицательна.

На рис.5.21, а приведён пример наличия на границе плоской поверхности S площадью между диэлектриками с ε₁ и ε₂ диэлектрическимипроницаемостями положительного q₊свободногозаряда с σ₊поверхностной плотностью, т.е. σ₊ > 0, поэтому согласно равенству (5.92) D_2n > D_1n и на рис.5.21, а длина вектора D_2n больше длины вектора D_1n.

Согласно(5.87) E_1n, E_2n модули векторов E_1n, E_2n нормальныхсоставляющих вектора

E напряжённости электрическогополя связаны с модулями D_1n, D_2n векторов D_1n, D_2n нормальныхсоставляющих вектора D электрического смещениясоответственно в диэлектриках с ε₁ и ε₂ диэлектрическимипроницаемостями при (рис. 05.0.21, а) наличиина границе между этими диэлектриками qсвободногозаряда с σповерхностной плотностью с учётом (5.92) следующими выражениями: D_1n = ε₀ε₁E_1n ; D_2n = ε₀ε₂E_2n ↔ D_2n - D_1n= σ ↔ ε₀ε₂E_2n - ε₀ε₁E_1n = σ ↔

↔ E_2n = (ε₁E_1n/ε₂) + (σ/ε₀ε₂), (5.93)

где σ - поверхностная плотность свободногозаряда на границе между диэлектриками, которая может σ₊ положительной или σ_- отрицательной.

Согласно (5.91) при переходевектора E напряжённости электрическогополя через границу диэлектриков с различными ε₁ и ε₂ диэлектрическимипроницаемостями и при (рис. 05.0.20) наличиина границе между этими диэлектриками qсвободногозаряда с σповерхностной плотностьюE_1n, E_2n модули векторов E_1n, E_2n нормальныхсоставляющих вектора E напряжённости электрическогополя претерпевают разрыв.

Величина (рис.5.20) изменения E_2n модуля вектора E_2n нормальнойсоставляющей в диэлектрике с ε₂ диэлектрическойпроницаемостью по сравнению с E_1n модулем вектора E_1n нормальнойсоставляющей в диэлектрике с ε₁ диэлектрическойпроницаемостью вектора E напряжённости электрическогополясогласно (5.93) зависит от отношения ε₁/ε₂, а также зависит от знака и величины qсвободногозаряда с σповерхностной плотностьюна границе между этими диэлектриками. Например, согласно (5.91) при ε₂ > ε₁ и отрицательном q_-свободномзаряде с σ_-поверхностной плотностью на границе между диэлектриками, т.е. σ_- < 0, нормальные E_1n, E_2n составляющие вектора E напряжённости электростатическогополя в этих диэлектриках имеют модули, связанные согласно (5.93) следующим соотношением: E_1n > E_2n. Это отражено на рис. 05.0.20 при наличии отрицательного q_-свободногозаряда с σ_-поверхностной плотностью на границе между диэлектрикамибόльшей длиной вектора E_1n по сравнению с длиной E_2n вектора.

D_1n и D_2n векторов.

С учётом(5.87) связи вектора D электрического смещенияс вектором E напряжённости электростатическогополя D = ε₀ εE имеет место следующее выражение для модулей E_1n, E_2n нормальных E_1n, E_2n составляющих вектора E напряжённости электростатическогополя при отсутствии на границе между диэлектриками с ε₁ и ε₂ диэлектрическимипроницаемостями q свободныхзарядов, т.е. (рис.5.21, б) при равенстве нулю в (5.92) поверхностнойσ плотностиq свободныхзарядов σ = 0: D_1n= D_2n ↔ E_1nε₀ε₁ = E_2nε₀ε₂ ↔ E_1n/E_2n = ε₂/ε₁. (5.94)

Согласно (5.94) при переходе через границу диэлектриков с различными ε₁ и ε₂ диэлектрическимипроницаемостями при отсутствии на этой границе q свободныхзарядовнормальная E_nсоставляющая вектора E напряжённости электростатическогополя претерпевает разрыв, поэтому (рис.5.20), например, при ε₂ > ε₁ нормальные E_1n, E_2n составляющие вектора E напряжённости электростатическогополя в этих диэлектриках имеют модули, связанные следующим соотношением: E_1n > E_2n. Это отражено на рис.5.20 бόльшей длиной вектора E_1n по сравнению с длиной вектора E_2n.

Нормальные составляющие вектора поляризованности на границе раздела диэлектриков

Вектор P поляризованности диэлектрика имеет векторы P₁ и P₂ в диэлектриках с ε₁ и ε₂ относительными диэлектрическимипроницаемостями, коллинеарныхсогласно (5.86) векторам D₁ и D₂ электрического смещения в этих диэлектриках.

Поток (5.81) Ф_pвектора P поляризованностидиэлектрика через воображаемый цилиндр

(рис.5.21, а, б) с основанием S площадью, b толщиной при b→0 будет состоять только из нормальных P_n составляющих этого вектора P поляризованностидиэлектрика.

Поток (рис.5.21, а, б) Ф_2Pвектора P₂ поляризованности диэлектрика через верхнееоснование

S площадьювоображаемогоцилиндра равен положительной величине P_2nS, т.к. вектор P₂ поляризованности диэлектрикасонаправлен векторувнешней n₂ нормали к этому верхнемуоснованию S площадьювоображаемогоцилиндра.

Поток (рис.5.21, а, б) Ф_1Pвектора P₁ поляризованности диэлектрика через нижнееоснование S площадьювоображаемогоцилиндра равен отрицательной величине "- P_1nS ", т.к. вектор

P₁ поляризованности диэлектрикапротивонаправлен векторувнешней n₁ нормали к этому нижнемуоснованию S площадьювоображаемогоцилиндра.

Согласно (5.81)поток Ф_pвектора P поляризованности диэлектрикачерез воображаемый цилиндр (рис.5.21, а, б) с основанием S площадью, b толщиной при b→0 будет иметь следующий вид: Ф_p = ∫PdS= Ф_2P + Ф_1P = P_2nS - P_1nS = - q_p, (5.95) (S)

где q_p- связанныйзарядов в V объёме диэлектрика, ограниченном воображаемымцилиндром с S площадями оснований и (рис.5.21, а, б) находящимся на границе диэлектриков с различными ε₁ и ε₂ диэлектрическимипроницаемостями.

Граница диэлектриков с различными ε₁ и ε₂ относительными диэлектрическимипроницаемостями имеет S площадь и на ней находятся поляризационныезаряды с σ_p поверхностнойплотностью, которые охватывает (рис.5.21, а, б)воображаемыйцилиндр. Поэтому этот воображаемый цилиндр с основанием S площадью, b толщиной при b→0 охватывает q_pполяризационныйзаряд, имеющее следующее значение: q_p = σ_pS. (5.96)

Подставляем (5.96) в (5.95) и получаем следующее выражение, связывающее разность проекций P_2n, P_1n на внешние n₂ и n₁ нормали вектора P поляризованностив диэлектриках с соответственно ε₂ и ε₁ диэлектрическимипроницаемостями с σ_pповерхностнойплотностью поляризационныхзарядов на границе этих диэлектриков:P_2nS - P_1nS = - σ_pS ↔ P_2n - P_1n = - σ_p, (5.97) где σ_p - поверхностная плотность поляризационногозаряда на границе между диэлектриками, которая может σ_p+ положительной или σ_p- отрицательной.

Выражение (5.97) справедливо (рис. 05.0.21, а) при наличиина границе между диэлектриками qсвободногозаряда с σповерхностной плотностьюили при (рис. 05.0.21, б) отсутствииqмежду этими диэлектриками qсвободногозаряда с σповерхностной плотностью.

Согласно (5.97), если модуль P_2n вектора P_2n нормальнойсоставляющей поляризованностив диэлектрике с ε₂ относительной диэлектрическойпроницаемостью меньше модуля P_1n вектора P_1n нормальнойсоставляющей поляризованностив диэлектрике с ε₁ относительной диэлектрическойпроницаемостью, то на границе этих диэлектриков возникает положительныйполяризационныйзаряд с σ_p+поверхностной плотностью.

Согласно (5.97), если модуль P_2n вектора P_2n нормальнойсоставляющей поляризованностив диэлектрике с ε₂ диэлектрическойпроницаемостью больше модуля P_1n вектора P_1n нормальнойсоставляющей поляризованностив диэлектрике с ε₁ диэлектрическойпроницаемостью, то на границе этих диэлектриков возникает отрицательный поляризационныйзаряд с σ_p-поверхностной плотностью. Этот случай отражен на рис.5.21, а, б на границе диэлектриков бόльшей длиной вектора P_2n нормальнойсоставляющей поляризованностив диэлектрике с ε₂ диэлектрическойпроницаемостью на границе диэлектриков по сравнению с длиной вектора P_1n нормальнойсоставляющей поляризованностив диэлектрике с ε₁ диэлектрическойпроницаемостью.

Лекция 4 Электрическое поле заряженных проводников. Энергия электростатического поля

Электростатическое поле вблизи поверхности проводника, окружённого диэлектриком. Заряд проводника и поляризационный заряд на поверхности диэлектрика, окружающего проводник. Силы, действующие на поверхность заряженного проводника в вакууме. Электроемкость уединённой проводящей сферической поверхности. Емкость плоского конденсатора. Емкость коаксиального конденсатора. Емкость сферического конденсатора. Энергия взаимодействия системы точечных зарядов в диэлектрике. Собственная энергия заряженных проводников в диэлектрике. Полная энергия заряженных проводников в диэлектрике. Электрическая энергия плоского конденсатора. Энергия электростатического поля в диэлектрике. Работа электростатического поля при поляризации диэлектрика. Электростатические генераторы электрической энергии.

Электростатическое поле вблизи поверхности проводника, окружённого диэлектриком В металлических проводниках имеются носителитока - электроны проводимостиили свободные электроны, которые могут под действием электрического поля перемещаться по всему проводнику. В отсутствие внешнего электроcтатического поля электроны проводимостии положительныеионы металлов взаимно компенсируются. Если металлический проводник внесён во внешнее электроcтатическое поле, то под действием этого поля электроны проводимости, которые превращаются в индуцированныеили наведённыезаряды,перераспределяются в проводнике так, что в любой точке внутри проводникаэлектрическое поле электронов проводимостии положительныхионов компенсирует внешнее электроcтатическое поле. ВекторE напряжённости электростатическогополя у поверхностипроводника направлен по нормалик поверхности этого проводника, т.е. E_τ касательнаяили тангенциальнаясоставляющая вектора E напряжённости электростатическогополя у поверхностипроводника равна нулю. Наличие E_τ касательнойсоставляющей вектора E напряжённости электростатическогополя у поверхностипроводника вызвала бы перемещение носителей тока по этой поверхности проводника, что противоречит условию равновесия зарядов в проводнике, находящемся во внешнем электроcтатическом поле.

Проводники, находящиеся во внешнем электроcтатическом поле,имеютследующиеособенности:

а) всюду внутри проводника векторE напряжённости электростатическогополя равен нулю, а у его поверхности он имеет только E_n нормальнуюсоставляющую; E_τ касательнаяили тангенциальнаясоставляющая вектора E напряжённости электростатическогополя у поверхностипроводника равна нулю;

б) весь объём этого проводника эквипотенциален, т.к. (5.56) проекция E_l вектора