Исследование функций с помощью производных.

1. Выяснить, является ли функция возрастающей (убывающей) и найти области возрастания (убывания) функции можно, используя теоремы:

Если функция f(x), имеющая производную на отрезке [a, b] возрастает на этом отрезке, то ее производная на отрезке [a, b] неотрицательна, т.е. f `(x)³ 0.

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема в интервале (a, b), причем f `(x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a, b].

Если f(x) убывает на отрезке [a, b], то f `(x)£ 0 на этом отрезке.

Если f `(x) < 0 в интервале (a, b), то f(x) убывает на отрезке [a, b].

Полагаем, что f(x) непрерывна на [a, b] и дифференцируема на (a, b).

Геометрическая интерпретация: если функция возрастает, то касательная к ее графику образует острый угол с осью Ох; если функция убывает – угол наклона касательной – тупой.

2. Экстремумы. Говорят, что функция f(x) имеет максимум (max)в точке х₀, если значение функции в этой точке больше, чем значения во всех точках малой окресности ее, т.е. если при достаточно малом h > 0 выполняются неравенства: f(x₀ – h) < f(x₀) и f(x₀ + h) < f(x₀).

Функция f(x) имеет минимум (min) в точке х₀, если значение функции в этой точке меньше, чем значения во всех точках малой окрестности ее, т.е. если при достаточно малом h > 0 выполняются неравенства:

f(x₀ – h) > f(x₀) и f(x₀ + h) > f(x₀).

Максимум (минимум) функции называется ее экстремумом. Точки максимума (минимума) – точками экстремума функции.

Рассмотрим метод отыскания экстремумов.

Необходимое условие существования экстремума можно сформулировать так: Если функция f(x) в точке х₀ имеет экстремум, то производная f `(x₀) обращается в нуль или не существует.

Это означает, что функция может иметь экстремум только в этих точках, но может и не иметь его в них. Точки эти (в которых производная равна нулю или не существует) называются критическими точками первого рода.

Достаточное условие экстремума можно сформулировать так:

Если х₀– критическая точка функции f(x) и при произвольном достаточно малом h > 0 выполняется неравенство f `(x<sub>0</sub> – h) > 0, f `(x₀ + h) < 0, то функция f(x) имеет в точке х₀ максимум; если f `(x<sub>0</sub> – h) < 0, a f `(x₀ + h) > 0, то функция f(x) в точке х₀имеет минимум. (Если знаки f `(x<sub>0</sub> – h) и f `(x₀ + h) одинаковы, то функция f(x) в точке х₀ экстремума не имеет). (Наличие экстремума можно определить и с помощью второй производной. Если , a то в точке имеет экстремум- max, если и min, если .)

Отметим, что: а) функция, определенная на отрезке, может достигать экстремума только во внутренних точках этого отрезка; б) экстремум функции не обязательно является наибольшим (наименьшим) значением функции на рассматриваемом отрезке.

3. Наибольшее и наименьшее значения функции, непрерывной на отрезке [a, b] можно отыскать, выбрав их из значений функции на концах и в критических точках внутри этого отрезка.

4. Выпуклость и вогнутость графика функции.

Выпуклость и вогнутость графика функции наглядно иллюстрируются удобным для запоминания “правилом дождя”, поясняемым рис. 3.3. Заключается оно в следующем: если вторая производная отрицательна, то говорят, что “нет дождя” – случай а) на рисунке, кривая y₁ = f₁(x) – выпукла, «струи дождя» скатываются с выпуклой кровли и под ней сухо.

Точка, отделяющая вогнутую часть графика от выпуклой, называется точкой перегиба. Можно доказать справедливость утверждения: Если f ``(а) = 0или f ``(a)не существует и при переходе через значение х = а, f ``(x) меняет знак, то точка кривой y = f(x)с абсциссой х = а есть точка перегиба.

В этой формуле объединены необходимое (равенство нулю или «несуществование» второй производной в некоторой точке) и достаточное (перемена знака второй производной) условия наличия точки перегиба.

Точки, в которых выполняются указанные необходимые условия, называются критическими точками второго рода.

Отметим, что интервалы выпуклости и вогнутости могут быть разделены и точкой разрыва функции, не являющейся точкой перегиба.

5. Асимптоты. Прямая L называется асимптотой кривой y = f(x), если расстояние точки М(х, у) кривой от прямой L стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по кривой от начала координат (т.е. при стремлении хотя бы одной из координат точки к бесконечности).

Прямая х = а является вертикальной асимптотой кривой y = f(x), если или (подразумевается, что исследуются и левый и правый пределы, т.е. и ).

Прямая у = b является горизонтальной асимптотой кривой y = f(x), если существует предел или .

В общем случае кривая может иметь и наклонную асимптоту, уравнение которой можно записать в виде y = kx + b. Определим значения k и b с помощью рис.3.4 М(х, у) – точка на кривой, N(x, y) – точка на асимптоте. Отрезок МР – расстояние от точки М до асимптоты. По определению . Из треугольника MNP определим . Т.к. j = arctg к – постоянная,

. При постоянном b , и, следовательно, , откуда . Зная kнаходим b: . Т.о. прямая y = kx + b является наклонной асимптотой кривой y = f(x), если существуют пределы (3.36) и (3.37)

или (3.36`) и (3.37`).

(Если хотя бы один из каждых двух пределов не существует, то кривая наклонных асимптот не имеет).

Рекомендуемая схема построения графиков по характерным точкам:

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на четность и нечетность.

3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

4. Исследовать функцию на непрерывность, найти (если они существуют) точки разрыва и установить характер разрыва; найти асимптоты кривой.

5. Найти интервалы возрастания и убывания функции и ее экстремумы.

6. Найти интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба.

Отметим, что иногда порядок исследования целесообразно выбирать, исходя из особенностей функции. Может быть пополнен и перечень исследуемых характеристик (например вопросом о периодичности функции).

Контрольные вопросы.

1) Как найти интервалы возрастания и убывания функции?

2) Что называют точками экстремума функции и как находятся?

3) Как найти наибольшее и наименьшее значение функции?

4) Как найти интервалы выпуклости, вогнутости графика функции, точки прегиба?

5) Что называют асимтотой кривой y=f(x)?

Тест 18.

1) Чем характеризуется возрастание и убывание функции y=f(x) в некотором интервале?

а) знаком её первой производной функции; б) знаком данной функции;

в) знаком её второй производной функции;

2) Какие точки называются критическими?

а) те точки, в которых функции равна нулю;

б) те точки, которые лежат внутри области определения функции и где производная равна 0 или не ; в) такие не .

3) Если в критической точке х₀, где , то

а) х₀ – точка минимума; б) х₀ – точка максимума;

в) она не является ни max,ни min.

4) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке :

а) u(-1)=50; u(2)=-1; б) u(-4)=-41; u(4)=15; в) u(-1)=40; u(-4)=-41.

5) Найти уравнение вертикальной асимптоты кривой

а) не имеет вертикальной асимптоты; б) х=3; в) у=х-3.

3.5. Элементы дифференциальной геометрии.Углом смежности дуги плоской линии называют угол j между касательными, проведёнными к этой линии на концах дуги. Отношение угла смежности j к длине дуги S называют средней кривизной дуги . Кривизной линии в данной точке называют предел средней кривизны при неограниченном сближении концов дуги . (Очевидно, что кривизна прямой равна 0, окружности (радиуса r) ). Если линия задана своим уравнением , то в полярных координатах: , параметрически: Радиусом кривизны называют величину, обратную кривизне: ; окружностью кривизны данной линии в точке В предельную окружность проходящую через точки А, В, С кривой при и Радиус окружности кривизны равен радиусу кривизны, а центр этой окружности называют центром кривизны. (Он находится на нормали к линии в точке В в сторону вогнутости линии).

Координаты и h центра кривизны линии определяются соотношениями и =у+ . Геометрическое место центров кривизны линии называют её эволютой.

Если кривые и имеют общую точку М(х₀,у₀), а касательные к ним в этой точке не совпадают, т.е. , но , то говорят, что кривые пересекаются в этой точке. Если кривые имеют общую точку и касательные к ним в этой точке совпадают, т.е. и , то говорят, что кривые касаются в точке М. Если же в общей для кривых точке равны все их производные до порядка n включительно, то говорят, что кривые имеют касание n-го порядка. (Если , то кривые имеют в этой точке общую касательную и одинаковую кривизну).

Пространственную кривую можно задать параметрическими уравнениями (пример - параметрические уравнения прямой в разделе 1.7.1) или векторным уравнением . Это уравнение задаёт как вектор - функцию скалярного аргумента t, т.е. Соответствующую кривую называют годографом вектора .

Производная вектор - функции по скалярному аргументу t- новая вектор- функция, определяемая равенством и может вычисляться по формуле . Она определяет вектор, направленный по касательной к годографу в сторону возрастания параметра t. (Если t- время, то - скорость, а - ускорение конца вектора).

Правила дифференцирования вектор - функции скалярного аргумента:

1. Если , то .

2. Если - постоянный вектор, то .

3. Если (скалярная функция t), то .

4. .

5. .

Уравнения касательной к кривой вточкеМ₀(х₀,у₀,z₀)

имеют вид: , где - производные функций в точке .

Уравнение нормальной плоскости, проходящей через точку касания перпендикулярно касательной, имеет вид:

Дифференциал дуги пространственной кривой .

В произвольной точке пространственной кривой можно провести три ортогональных единичных вектора: касательной , главной нормали и бинормали (им соответствуют вектора касательной бинормали и главной нормали ).

Плоскость, содержащую и называют соприкасающейся, содержащую и - нормальной, и - спрямляющей. Трёхгранник с вершиной в точке М, образованный этими тремя плоскостями, называют сопровождающимтрёхгранником пространственной кривой. Её кривизной в точке Мназывают число , где - угол поворота касательной (угол смежности) на дуге - длина этой дуги. .

Кручением кривой в точке М называют число , где - угол поворота бинормали (угол смежности второго рода) на дуге

Контрольные вопросы.

1) Что называют углом смежности дуги плоской линии?

2) Какую величину называют радиусом кривизны, окружностью кривизны, центром кривизны?

3) Что является вектором – функцией скалярного аргумента?

4) Как выглядит уравнение касательной и кривой в точке М₀ (х₀; у₀;z₀)?

5) Что называют кручением кривой в точке?