Примеры решения задач. 1. Исследовать на сходимость интеграл:

1. Исследовать на сходимость интеграл:

.

►Рассмотрим случаи и .

а) ; − интеграл расходится;

б) .

Далее рассмотрим случаи и .

− интеграл расходится;

− интеграл сходится.

Итак, несобственный интеграл

◄

2. Вычислить несобственные интегралы:

а) ; б) .

►а) Используем формулу Ньютона-Лейбница (см. приложение):

.

б) По формуле Ньютона-Лейбница имеем:

.◄

3. Исследовать на сходимость интегралы:

а) ; б) ; в) .

►а) Подынтегральная функция в промежутке интегрирования меньше, чем функция , т.е. и интеграл

, т.е. сходящийся.

Тогда и интеграл по признаку сравнения также сходящийся, причем .

б) Для сравнения с подынтегральной функцией

возьмем функцию .

Имеем ,

а интеграл расходится, тогда и данный интеграл также расходится.

в) Подынтегральную функцию

сравним с функцией , т.е. рассмотрим

.

Согласно предельному признаку сравнения получаем, что, так как интеграл сходится, то данный интеграл также сходится.◄

4. Исследовать на сходимость интеграл

.

►Если , то интеграл не является несобственным.

Если , то имеем несобственный интеграл второго рода; точка − особая точка подынтегральной функции на промежутке интегрирования.

При имеем

− интеграл расходится.

При имеем

Итак,

◄

5. Вычислить интегралы:

а) ; б) .

►а) Точка − особая точка подынтегральной функции на промежутке .

.

б) Точка − особая точка подынтегральной функции на промежутке .

.

Здесь

.◄

6. Исследовать на сходимость интегралы:

а) ; б) ; в) .

►а) На данном промежутке интегрирования точка − особая, функция в этой точке неограниченна. Имеем несобственный интеграл второго рода:

.

Рассмотрим первый интеграл:

Этот интеграл расходящийся. Следовательно, и данный интеграл расходящийся.

б) Особая точка . Подставим подынтегральную функцию в виде:

.

Сравним данный интеграл с интегралом вида

, который является сходящимся, т.к. (см. пример 4).

Сформулируем предельный признак сравнения.

Пусть − особая точка функций и на и , на . Тогда, если существует конечный предел

,

то оба интеграла и сходятся или расходятся одновременно.

Согласно данному признаку , исходный интеграл также сходящийся, т.к.:

.

в) Особая точка . Данный интеграл абсолютно сходящийся, т.к.:

и интеграл сходится.◄